1  ^?? Силу тока $I_{0}$, протекающего через индуктивность непосредственно перед размыканием ключа.

Количество теплоты $Q_{0}$, выделившееся в схеме после размыкания ключа, равно магнитной энергии, запасённой в катушке на момент размыкания $Q_{0}=L I_{0}^{2} / 2$, откуда $I_{0}=\sqrt{2 Q_{0} / L}$.

2  ^?? Заряд $q_{1}$, протёкший через резистор $R$ за время, пока ключ был замкнут.

Найдём связь между зарядом, протёкшим через резистор $R$, и изменением магнитного потока $\Delta \Phi$. Независимо от положения ключа напряжение на резисторе $R$ равно напряжению на катушке индуктивности. Поэтому в любой момент времени
$$
L \frac{d I_{L}}{d t}=R I_{R}.
$$
Умножая обе части этого уравнения на $d t$ и выполняя операцию интегрирования, получим
$$
L \Delta I_{L}=\Delta \Phi=R \Delta q,
$$
где $\Delta \Phi$ - изменение магнитного потока, $\Delta q$ - заряд, протёкший через резистор $R$. Это соотношение справедливо для любого промежутка времени.
Применяя получившееся равенство к промежутку времени, в течение которого ключ был замкнут, найдём
$$
\Delta \Phi_{1}=L I_{0}, \quad \Delta q=q_{1}=\frac{\Delta \Phi_{1}}{R}=\frac{L I_{0}}{R}=\frac{\sqrt{2 Q_{0} L}}{R}.
$$

3  ^?? Заряд $q_{2}$, протёкший через резистор $R$ после того, как ключ был разомкнут.

Соотношение $L \Delta I_{L}=\Delta \Phi=R \Delta q$ можно применить и к процессу после размыкания ключа. В этом случае $\Delta \Phi_{2}=-L I_{0}$, так как поток $\Phi$ изменяется от значения $L I_{0}$ в первый момент времени до нулевого значения при полном затухании тока. Таким образом, $\Delta q=q_{2}=\Delta \Phi_{2} / R=-L I_{0} / R$.
Следовательно, $q_{2}=-q_{1}$ - полный заряд, протёкший через резистор $R$ за всё время, равен нулю. При замкнутом ключе заряд протекает через резистор $R$ в положительном направлении (см. рисунок), при разомкнутом - в противоположном направлении.

4  ^?? Работу $A$, совершённую источником постоянного тока в течение всего процесса.

Работа источника тока равна произведению ЭДС на протёкший через него заряд. При замкнутом ключе через источник протёк заряд $q=q_{1}+q_{0}$, где $q_{1}$ - заряд, протёкший через резистор $R, q_{0}$ - заряд, протёкший по условию задачи через индуктивность. Следовательно,
$$
A=\mathscr{E} q=\mathscr{E} q_{0}+(\mathscr{E} / R) \sqrt{2 Q_{0} L}.
$$
Вся работа в конечном итоге перешла в тепло.

5  ^?? Количество теплоты $Q$, выделившейся в схеме, пока ключ был замкнут.

Поскольку по условию задачи после размыкания ключа в схеме выделилось количество теплоты, равное $Q_{0}$, то при замкнутом ключе в схеме выделилось следующее количество теплоты:
$$
Q=A-Q_{0}=\mathscr{E}\left(q_{0}+\frac{\sqrt{2 Q_{0} L}}{R}\right)-Q_{0}.
$$