Свободные колебания

\[\dot x = Ai\omega_1e^{i\omega_1t} \\
\ddot x = A(i\omega_1)^2 e^{i\omega_1t}= -\omega_1^2Ae^{i\omega_1t}
\]Из уравнения движения получаем $\omega_1^2 = \omega^2$.
То есть решение на координату имеет вид:
\[x = A_1e^{i\omega t} + A_2e^{-i\omega t}
\]Зададим начальные условия:
\begin{cases}
x(0) = x_0 \\
v(0) = v_0
\end{cases}Подставляя их в уравнение:
\begin{cases}
A_1 + A_2 = x_0 \\
i\omega A_1 - i\omega A_2 = v_0
\end{cases}\begin{cases}
A_1 + A_2 = x_0 \\
A_1 - A_2 = -\frac{iv_0}{\omega}
\end{cases}\begin{cases}
A_1 = \frac12\left(x_0 - \frac{iv_0}{\omega}\right) \\
A_2 = \frac12\left(x_0 + \frac{iv_0}{\omega}\right)
\end{cases}\begin{multline}
x = \frac12\left(x_0 - \frac{iv_0}{\omega}\right)e^{i\omega t} + \frac12\left(x_0 + \frac{iv_0}{\omega}\right)e^{-i\omega t}=\\
= \frac12x_0\left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) + \left(-\frac{iv_0}{2\omega}\right)\left(e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}\right)=\\
=x_0\cos{\omega t} + \frac{v_0}{\omega}\sin{\omega t} = A\cos{(\omega t + \varphi)}
\end{multline}

(P.S. Можно было сразу искать решение вида $x = A_1\cos{\omega t} + A_2\sin{\omega t}$)

Мы получили закон свободных гармонических колебаний: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, где $A$ – амплитуда колебаний, $\varphi$ - фаза колебаний (определяется с точностью до $\pi$), $\omega$ - циклическая частота колебаний.
Период колебаний $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
Частотой колебаний называется величина $f = \frac1T = \frac{\omega}{2\pi}$.
Важно не путать $f$ и $\omega$, это разные величины с разной размерностью:
$[\omega] = [\text{с}^{-1}]; [f] = [\text{Гц}]$
Из начальных условий:
\[A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega ^2}} \\
\operatorname{tg}{\varphi} = -\frac{v_0}{\omega x_0}
\]Рассмотрим ещё один вариант решения:
\[
\ddot x = -\omega^2x \qquad | \cdot \dot x \\
\dot x\ddot x = -\omega^2 x\dot x \\
\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot x^2}2\right) = -\omega^2\frac{d}{dt}\left(\frac{x^2}2\right)\\
\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot x^2}2 + \frac{\omega^2x^2}2\right) = 0\]Интегрируя, получаем:
\[\frac{m\dot x^2}2 + \frac{kx^2}2 = E = const\]Мы получили закон сохранения энергии.
Причём для любой системы верно, что если её энергия $E=\frac{M\dot x^2}2+\frac{Kx^2}2$, то она совершает гармонические колебания с $\omega=\sqrt{\frac KM}$.
Для простоты будем считать $x(0) = A$ и $\dot x(0) = 0$.
\[\dot x^2 = \omega^2\left(A^2 - x^2\right)\\
\dot x = \pm\omega\sqrt{A^2 -x^2}\\
\frac{dx}{\sqrt{A^2 - x^2}} = \pm\omega dt\]Пусть $y = \frac xA$, $\sin y = \theta$
\[\int\frac{dx}{\sqrt{A^2 - x^2}} = \int\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \int\frac{\cos \theta d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} = \theta + C \\
\arcsin \left(\frac xA\right) = \pm\omega(t - t_0)\]где знак плюс или минус определяет направление движения – по или против оси $x$ соответственно.\[
x = A\sin (\omega(t - t_0))\]

Вынужденные колебания

\[\xi = \dot x + i\omega x = v + i\omega x\\
\dot \xi = \dot v + i\omega \dot x = -\omega^2x + \frac{F(t)}m + i\omega \dot x = i\omega (\dot x + i\omega x) + \frac Fm = i\omega \xi + \frac Fm \\
\dot \xi = i\omega \xi + \frac Fm\]Полученное уравнение удобно тем, что не содержит вторую производную.
Пусть $f = \frac Fm$.
Если $f = 0$, то мы получаем уравнение свободных колебаний:
\[\dot\xi = i\omega \xi \\
\xi = \xi (0)e^{i\omega t}\\
\xi = v + i\omega x = e^{i\omega t}(v_0 + i\omega x_0) = (\cos \omega t + i\sin \omega t)(v_0 + i\omega x_0) = v_0\cos \omega t - \omega x_0\cos \omega t + i(v_0\sin \omega t + \omega x_0 \cos \omega t)
\\x = \frac{v_0}{\omega}\sin \omega t + x_0\cos \omega t \\
v = v_0\cos \omega t - \omega x_0\sin \omega t
\]Заметим, что мы получили такой же результат, как и ранее.

Вернёмся к решению получившегося неоднородного линейного уравнения:
Пусть $\xi = Ae^{i\omega t}$. Воспользуемся методом вариации постоянной: $A \rightarrow A(t)$ (теперь считаем $A$ функцией $t$).
\[\xi = A(t)e^{i\omega t} \\
\dot Ae^{i\omega t} + i\omega Ae^{i\omega t} = i\omega Ae^{i\omega t} + f \\
\dot A = fe^{-i\omega t}\\
A(t) = A(0) + \int_0^tf(t)e^{-i\omega t_1}dt_1\\
\xi(t) = A(0)e^{i\omega t} + e^{i\omega t}\int_0^tf(t_1)e^{-i\omega t_1}dt_1
\]Далее рассмотрим некоторые частные случаи функции $f(t)$:

1. $f(t) = f_0 = \frac{F_0}m; A(0) = 0$
\[\xi(t) = e^{i\omega t}\int_0^tf_0e^{-i\omega t_1}_1dt_1 = \frac{f_0e^{i\omega t}}{-i\omega}\left(e^{-i\omega t} - 1\right) = \frac{if_0}{\omega}\left(1-e^{i\omega t}\right) = \frac{if_0}{\omega}(1 - \cos \omega t - i\sin \omega t) = v + i\omega t\\
x = \frac{f_0}{\omega^2}(1 - \cos \omega t) = \frac{F_0}{m\omega^2}(1-\cos\omega t)
\]Этот случай можно было бы решить и проще:
\[m\ddot x =-kx+F_0\\
m\ddot x=k(x-x_0)\\
x_0=\frac{F_0}{k}=\frac{F_0}{m\omega^2}\]Введём обозначение $z=x-x_0$, тогда $\dot z=\dot x$.
Сформулируем начальные условия для новой переменной:\[ \qquad z(0) = -x_0, \qquad \dot z(0)=0\\
m\ddot z=-kz\\
z=-x_0\cos \omega t\\
x = x_0(1-\cos\omega t)
\]Ожидаемо, мы получили аналогичный результат

2. $ F = F_0\cos\omega _1t$
\[f = f_0\cos \omega_1t\]\begin{multline}
\int_0^t\cos \omega_1t_1e^{-i\omega_1t_1}dt_1 = \frac12\int_0^t\left(e^{i(\omega_1-\omega)t_1}+e^{-i(\omega_1-\omega)t_1}\right)dt_1=\frac12 \frac{e^{i(\omega_1-\omega)t}-1}{i(\omega_1-\omega)}+\frac12\frac{e^{-i(\omega_1+\omega)t}-1}{-i(\omega_1+\omega)}
\end{multline}\begin{multline}
\xi(t)=f_0\left( \frac{e^{i\omega_1t}-e^{i\omega t}}{2i(\omega_1-\omega)}-\frac{e^{-i\omega_1t}-e^{i\omega t}}{2i(\omega_1+\omega)}\right)=\\=-\frac{-if_0}2\left(\frac{\cos \omega_1t-\cos\omega t}{\omega_1 -\omega}-\frac{\cos \omega_1t-\cos\omega t}{\omega_1 +\omega}\right)+\text{вещественная часть}=v+i\omega x
\end{multline}\[x=\frac{f_0}{2\omega}\left(\frac{1}{\omega_1+\omega}-\frac1{\omega_1-\omega}\right)(\cos \omega_1t-\cos \omega t)=\frac{f_0}{2 \omega} \frac{\omega_1 - \omega -\omega_1 - \omega}{\omega_1^2-\omega^2}(\cos\omega t-\cos\omega_1t)\\
x=\frac{F_0}{m(\omega^2-\omega_1^2)}(\cos\omega t-\cos\omega_1t)=A(\cos\omega t-\cos\omega_1t)\]Заметим, что полученное решение является суммой частного решения неоднородного и решения однородного.
Получаем амплитуду колебаний: $A=\frac{F_0}{m(\omega^2-\omega_1^2)}$

Затухающие колебания (колебания с трением)

Рассмотрим случай $F_{\textтр}\sim v$ (в таком случае наши уравнения будут иметь вид, аналогичный уравнениям, описывающим $RLC$-контур).
\[\vec F_\text{тр}=-\alpha \vec v\\
m\ddot x=-\alpha\dot x-kx\]Пусть $\gamma=\frac{\alpha}{2m}, \quad \omega_0^2=\frac km$.
\[\ddot x +2\gamma\dot x +\omega^2_0x=0\]Ищем решение вида $x=Ae^{i\omega t}$. Подставим в уравнение:
\[-\omega^2Ae^{i\omega t}+2\gamma i\omega Ae^{i\omega t}+\omega^2_0Ae^{i\omega t}=0\\
\omega^2-2i\gamma\omega-\omega^2_0=0\\
\frac D4=-\gamma^2+\omega^2_0\\
\omega=i\gamma\pm\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}\]Рассмотрим случаи:
1. Апериодический режим: $\omega_0<\gamma$
\[\omega=i\gamma\pm i\sqrt{\gamma^2-\omega^2_0}\\
x(t)=Ae^{-\gamma t- \sqrt{\gamma^2-\omega^2_0}t}+Be^{-\gamma t+\sqrt{\gamma^2-\omega^2_0}t}\]Качественный график зависимости координаты от времени:

2. Критический режим: $\omega_0=\gamma$ (наиболее быстрое затухание)
\[\omega=i\gamma\\
x=Ae^{-\gamma t}+Bte^{-\gamma t}\]Этот случай не имеет особого физического смысла, поскольку трудно создать режим идеального совпадения $\gamma$ и $\omega_0$.
Качественный график зависимости координаты $x(t)$ от времени в критическом режиме (красный) в сравнении с зависимостью координаты от времени в апериодическом режиме (синий):

3. Периодический режим: $\omega_0>\gamma$ (наиболее интересный с практической точки зрения режим).
Обозначим $\Omega=\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}$
\[\omega=i\gamma\pm\Omega\\
x=Ae^{i(i\gamma\pm\Omega)t}=Ae^{\pm i\Omega t}e^{-\gamma t}\]Вещественное решение:
\[x=A\cos\left(\Omega t+\varphi\right)e^{-\gamma t}\]Такой режим можно представить как колебания с уменьшающейся амплитудой $A_\gamma$:
\[A_\gamma=Ae^{-\gamma t}\]При этом период колебаний будет равен $T_\gamma=\frac{2\pi}{\Omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}}>T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}$, то есть период колебаний больше периода собственных колебаний.

Качественный график зависимости координаты от времени:

Введём логарифмический декремент затухания $d=\ln\frac{A_1}{A_2}$, где $\quad A_1=A_\gamma(0),\quad A_2=A_\gamma(T_\gamma)$ \[d=\ln\frac{A_1}{A_2}=\ln\frac{A_n}{A_{n+1}}=\frac1N\ln\frac{A_n}{A_{n+N}}\\ d=\ln\frac{A_1}{A_1e^{-\gamma T_\gamma}}=\gamma T_\gamma=\frac{2\pi\gamma}{\Omega}=\frac{2\pi\gamma}{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}\\ \]Введём добротность $Q=2\pi\frac{E_0}{\Delta E}$, где $E_0$ – начальная энергия системы, $\Delta E$ – потеря энергии за $1$ период колебаний.

\[E=\frac{kA^2}2\\E_1=E_0e^{-2\gamma T_\gamma}\\\Delta E=E_0-E_1=E_0(1-e^{-2\gamma T_\gamma})
\\Q=2\pi\frac1{1-e^{-2\gamma T_\gamma}}\]При $Q\gg1$, то есть при $\gamma\ll\omega_0$:
\[Q\approx\frac{\pi}d\approx\frac{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}{2\gamma}\\Q\approx\frac{\omega_0}{2\gamma}\]

• Пример

Шарик летает между двумя параллельными плоскими стенами в невесомости. Скорость шарика направлена перпендикулярно поверхностям. Об одну стену шарик ударяется абсолютно упруго, а коэффициент восстановления по энергии при ударе шарика о другую стену равен $k$. Найдите добротность $Q$ такой системы.

Рассмотрим удар шарика о стену. Пусть $W_0$ – энергия шарика до удара, $W_1$ – после, $v_0$ – скорость шарика до удара, $v_1$ – после:
\[k=\frac{W_{1}}{W_0}\\
v_1=\sqrt kv_0\\
W_{\text{тепла}}=(1-k)W_0\\
d=\ln\left(\frac 1k\right)\\
Q=\frac{\pi}{d}=\frac{\pi}{\ln\left(\frac 1k\right)}\]Если $k=1-z,\quad z\ll1$:
\[Q=\frac{\pi}{\ln\left(\frac{1}{1-z}\right)}\approx\frac{\pi}{z}\]

Рассмотрим связь амплитуды и скорости.

Пик амплитуды достигается при $\omega=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}\approx\omega_0$, пик амплитуды скорости же достигается ровно при $\omega=\omega_0$: \[v=v_0\cos(\omega t + \varphi_2)\\ v_0\sim\frac{\omega}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4\gamma^2\omega^2}}=\frac1{\sqrt{4\gamma^2+\left(\frac{\omega_0^2}{\omega}-\omega\right)^2}}\] Если $x=A\cos\omega t$ \[v=-A\omega\sin\omega t\\ \left(\frac xA\right)^2+\left(\frac v{A\omega}\right)^2=\sin^2\omega t+\cos^2\omega t=1\] Получаем, что зависимость $v(x)$ – сужающийся эллипс, поскольку $A$ – уменьшающаяся амплитуда.

Эта зависимость называется фазовым портретом колебаний.

4. Случай вынуждающей силы $F=F_0\cos\omega t$
\[F_0=mf_0\\
\ddot x+2\gamma\dot x +\omega_0^2x=f_0\cos\omega t=\operatorname{Re}\left(f_0e^{i\omega t}\right)\] Решение уравнения имеет вид $x(t)=x_0(t)+x'(t)$, где $x_0$ – решение однородного, $x'(t)$ – решение неоднородного.
$x_0(t)$ мы нашли ранее, найдём $x'(t)$. Найдём комплексное решение уравнения $\left(x'=\operatorname{Re}(\tilde x)\right)$. \[\ddot{\tilde{x}}+2\gamma\dot{\tilde{x}}+\omega^2_0\tilde x=f_0e^{i\omega t}\\ \tilde x=Ae^{i\omega t}\\ \left(-\omega^2+2i\gamma\omega A+\omega_0^2A\right)e^{i\omega t}=f_0e^{i\omega t}\\ A=\frac{f_0}{\omega_0^2-\omega^2+2i\gamma\omega}=\left|A\right|e^{i\varphi}\\ \left|A\right|=\frac{f_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4\gamma^2\omega^2}}\\ \varphi=\operatorname{arctg}\left(\frac{2\gamma\omega}{\omega^2_0-\omega^2}\right)\\ x'(t)=\frac{f_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4\gamma^2\omega^2}}\cos(\omega t+\varphi)\] Окончательное решение выглядит так: \[x(t)=\frac{f_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4\gamma^2\omega^2}}\cos\left(\omega t+\operatorname{arctg}\left(\frac{2\gamma\omega}{\omega^2_0-\omega^2}\right)\right) + x_0(t),\] где \[x_0(t)=\begin{cases} e^{-\gamma t}\left(Ae^{- \sqrt{\gamma^2-\omega^2_0}t}+Be^{\sqrt{\gamma^2-\omega^2_0}t}\right)& \gamma > \omega_0 \\ e^{-\gamma t}\left(A+Bt\right)& \gamma=\omega_0 \\ e^{-\gamma t}\left(A\cos\left(\Omega t+\varphi\right)\right)& \gamma < \omega_0 \end{cases} \] Далее будем рассматривать установившийся режим, то есть $t\rightarrow \infty \quad\Rightarrow\quad x_0\rightarrow0$.
Изучим фазу $\varphi=\operatorname{arctg}\left(\frac{2\gamma\omega}{\omega^2_0-\omega^2}\right)$. Фаза является функцией частоты, поэтому график $\varphi(\omega)$ называют фазо-частотной характеристикой (сокращённо ФЧХ). Качественный график функции $\varphi=\operatorname{arctg}\left(\frac{2\gamma\omega}{\omega^2_0-\omega^2}\right)$ выглядит так:

Поскольку такой вид функции нефизичен, ФЧХ изображают следующим образом:

Теперь рассмотрим зависимость амплитуды от частоты:
\[\left|A\right|=\frac{f_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4\gamma^2\omega^2}} = \frac{f_0}{\sqrt{g(\omega)}}\]Рассмотрим функцию $g(\omega)$:
\[g(\omega)=\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+4\gamma^2\omega^2\\
\frac{\partial g}{\partial(\omega^2)}=2\omega^2-2\omega_0^2+4\gamma^2\]В максимуме $\frac{\partial g}{\partial(\omega^2)}=0$, то есть $\omega^2=\omega_0^2-2\gamma^2$ (при $\gamma^2>\frac{\omega_0^2}2$ максимума не существует).
\[g(\omega_0^2-2\gamma^2)=4\gamma^4+4\gamma^2(\omega^2_0-2\gamma)=4\gamma^2\omega_0^2-4\gamma^2\]При малых затуханиях $\omega_0\gg\gamma,\quad \omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\approx\omega_0$
\[\left|A\right|=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0-\omega)^2(\omega_0+\omega)^2+4\gamma^2\omega_0^2}}\approx\frac{f_0}{2\omega_0}\frac1{\sqrt{(\omega-\omega_0)^2+\gamma^2}}
\]
Качественный график $\left|A\right|(\omega)$:

Явление резкого изменения амплитуды при совпадении частоты вынуждающей силы и характерной частоты системы называется резонансом. Резонансная частота равна $\omega_{\text{рез}}=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$.

Ширина графика при $\left|A\right|=\frac{A_{max}}{\sqrt{2}}$ называется шириной износа $\Delta\omega\approx2\gamma$. В приближении малых затуханий: \[\frac{\omega_0}{\Delta\omega}=\frac{\omega_0}{2\gamma}=\frac{2\pi}{2\gamma T}-\frac{\pi}{\gamma T}=Q\\ A_{max}=\frac{f_0}{2\gamma\omega_0}\\ \left|A\right|(\omega=0)=A_0=\frac{f_0}{\omega_0^2}\] Таким образом, мы получили новые формулы добротности: \[Q=\frac{\omega_0}{2\gamma}=\frac{A_{max}}{A_0}\] То есть чем больше добротность, тем выше и острее пик.

5. Случай сухого трения - сила трения постоянна по модулю и направлена против движения: $\vec{F_{\textтр}}=F_0\left(-\frac{\vec v}{|v|}\right)$ \[m\ddot x=kx+F_{\textтр}\\ x_0=\frac{F_0}{k}\\ f_0=\frac{F_0}{m}\] ($x_0$ - координата положения равновесия). \[\ddot x=\begin{cases}-\omega^2x-f_0&\dot x >0\\ -\omega^2x-f_0&\dot x <0\\ \end{cases}\\ \ddot x=\begin{cases}-\omega^2(x+x_0)&\dot x >0\\ -\omega^2(x-x_0)&\dot x <0\\ \end{cases} \] После каждой остановки знак силы трения (и $x_0$ соответственно тоже) будет меняться, то есть каждый раз положение равновесия меняется на противоположное относительно начала координат. То есть фазовый портрет будет выглядеть как «спираль» из полуэллипсов с разными центрами (тело прекращает колебаться, когда останавливается внутри отрезка $[-x_0; x_0]$):

$A\rightarrow A-2x_0\rightarrow A-4x_0$
Логарифмический декремент затухания меняется со временем.

Работа трения

1. Вязкое трение. Пусть $F_x=-\alpha v_x, \gamma=\frac{\alpha}{2m}$, $P$ – мощность трения, $E$ – энергия колебания.
\[P=\left(\vec F\cdot\vec v\right)=-\alpha v_x^2\\
v=-(A\omega)\sin\omega t\\
P=-\alpha A^2\omega^2\sin^2\omega t\\
\Delta E=\int_0^T Pdt=-\alpha A^2\omega^2\int_0^T\sin^2\omega tdt\\
T=\frac{2\pi}{\omega}\\
\Delta E=\alpha A^2\omega^2\frac T2=-\pi A^2\omega\alpha\\
E=\frac{kA^2}2=\frac{m\omega^2A^2}2\\
\frac{\Delta E}{E}=\frac{-2\pi\omega\alpha}{m\omega^2}=-\frac{2\pi\alpha}{m\omega}=-\frac{4\pi\gamma}{\omega}\\
Q=-2\pi\frac{E}{\Delta E}=-2\pi\frac{\omega}{-4\pi\gamma}=\frac{\omega}{2\gamma}\\
E\sim A^2\quad\Rightarrow\quad \frac{dE}{dA}=2\frac{E}{A}\\
\frac{\Delta E}{E}=2\frac{\Delta A}{A}\\
\frac{\Delta A}{A}=-\frac{2\pi\gamma}{\omega}=-\gamma T\\
A_{n+1}=A_n+\Delta A=A_n-\gamma TA_n=(1-\gamma T)A_n\approx e^{-\gamma T}A_n\\
A_n\approx A_0e^{-\gamma Tn}\\
\left(\frac{dA_n}{dn}=-\gamma TA_n\right)\]
2. Сухое трение $P=-F_0|v|$
\[\Delta E=-F_0\int_0^TA\omega|\sin\omega t|dt=-2F_0A\omega\int_0^{T/2}\sin\omega tdt=-4F_0A\\
\Delta E=-4F_0A\]Этот результат можно было получить и без интегрирования, поскольку сила постоянна, а перемещение известно.
Дифференцируя:
\[\Delta E=-4F_0A\approx kA\Delta A\\
\Delta A=-\frac{4F_0}{k}\\
A=A_0-\frac{4F_0n}{k}\]
3. Ещё случай вязкого трения:
\[\vec F=-\beta v^2\left(\frac{\vec v}{v}\right)\\
P=-\beta|v|^3\\
\Delta E = -\frac{\beta(A\omega)^3}{\omega}\int^T_0(\sin\omega t)^3\omega dt=-2\beta A^3\omega^2\int_0^{\pi}\sin^3xdx=-\frac 83\beta A^3\omega^2=kA\Delta A\\
\Delta A=-\frac{8\beta}{3m}A^2\\
\frac{dA}{dn}=-\frac{8\beta}{3m}A^2\\
\frac{dA}{A^2}=-\frac{8\beta}{3m}dn\\
\frac 1{A_0}-\frac 1{A_n}=-\frac{8\beta}{3m}n\\
A_n=\frac 1{\frac 1{A_0}+\frac{8\beta n}{3m}}\]

Математический маятник

2. Точная формула
По ЗСЭ:
\[E=\frac{m\left(l\dot\varphi\right)^2}2+mgl(1-\cos\varphi)=const\\
\frac{\dot\varphi^2}2+\frac gl(1-\cos\varphi)=\frac gl(1-\cos A)\\
\dot\varphi^2=\frac{2g}l(\cos\varphi-\cos A)=\frac{4g}l\left(\sin^2\frac A2-\sin^2\frac{\varphi}2\right)\\
\int_0^A\frac{dA}{\sqrt{\sin^2\frac A2-\sin^2\frac{\varphi}2}}=2\int_0^{T/4}\sqrt{\frac gl}dt\]Удобная замена $\sin\frac{\varphi}2=\sin\frac A2\sin\theta,\quad \theta\in\left(0; \frac{\pi}2\right)$
\[\cos\frac {\varphi}2\frac {d\varphi}2=\sin \frac A2\cos\theta d\theta\\
d\varphi=\frac{2\sin\frac A2\cos\theta d\theta}{\cos\frac{\varphi}2}\\
\frac T2\sqrt\frac gl = \int_0^{\pi/2}\frac{2\sin\frac A2\cos\theta d\theta}{\sqrt{1-\sin^2\frac A2\sin^2\theta}}\cdot\frac 1{\sin\frac A2\sqrt{1-\sin^2\theta}}\\
T=4\sqrt\frac lg \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2\frac A2\sin^2\theta}}\]
Для небольших углов:
\[T\approx4\sqrt\frac lg \int_0^{\pi/2}d\theta\left(1+\frac 12\sin^2\frac A2\sin^2\theta\right)=2\sqrt\frac lg \left(1+\frac 14\sin^2\frac A2\right)\]Перейдём к фазовому портрету колебаний:
\[\dot\varphi^2=\frac{4g}l\left(\sin^2\frac A2-\sin^2\frac{\varphi}2\right)=2\frac lg(\cos\varphi-\cos A)\]Качественный график множества решений для разных амплитуд:

Линии, не пересекающие ось $\varphi$, соответствуют ситуации вращения маятника вокруг оси без остановок.

Многомерные колебания

Пусть у есть $n$-мерная колебательная система (колебательная система с $n$ степенями свободы).
Пусть $q_1, \dots, q_n$ – обобщённые координаты (углы, координаты и т.д., однозначно определяющие положение системы).
Мода колебаний – вектор $\vec u=(a_1 \dots a_n)^T$, такой что существует $\omega$, что
\[\vec q(t)=\begin{pmatrix}
q_1\\
\vdots\\
q_n
\end{pmatrix}(t)=\begin{pmatrix}
a_1\\
\vdots\\
a_n
\end{pmatrix}(c_1cos\omega t+c_2\sin\omega t)\]есть решение уравнения движения.
Вблизи положения устойчивого равновесия есть $n$ независимых мод колебаний.
Тогда общее решение уравнения движения является суммой выражений вида
\[\vec q(t)=\sum_{i=1}^n\vec u_i(c_{1i}\cos\omega_i t+c_{2i}\sin\omega_i t)

\]Еще раз отметим, что моды колебаний $\vec{u_i}$ не зависят от начальных условий и определяются только самой системой, а константы $c_{1i}, c_{2i}$ определяются из начальных условий.

Более простыми словами, моды характеризуют такие режимы колебаний, в которых все элементы системы колеблются с одинаковой частотой $\omega_i$.

В простых системах угадать моды колебаний обычно достаточно просто (см. пример ниже), в общем случае нахождение мод колебаний может приводить к громоздким математическим вычислениям.

Приведём пример двумерных колебаний:

Примеры задач

• Пример 1

• Пример 2

Такие колебания называются биениями. Период биений $t=\frac{\pi}{\Delta\omega}$

• Пример 3