В задаче требуется оценка погрешностей!

Теоретическое введение

Определение радиуса кривизны сферической поверхности – задача с несколькими решениями из разных областей физики.

Например, если поверхность вогнута и частично отражает свет, то её можно использовать в качестве сферического зеркала. Для действительных изображений в вогнутом сферическом зеркале справедлива формула: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{R} \tag{1}$$ где $a$ – расстояние от источника до поверхности зеркала, $b$ – расстояние от поверхности зеркала до изображения, $R$ – искомый радиус кривизны (см. рисунок 1).

Радиус кривизны $R$ вогнутой сферической поверхности также можно определить с помощью шарика радиуса $r$, катающегося по ней без проскальзывания вокруг положения равновесия (см. рисунок 2).

По аналогии с периодом колебаний (или по-научному осцилляций) математического маятника (точечного тела ненулевой массы, подвешенного на идеальной нити длины $l$ в поле силы тяжести $g=9.8~{м}/{с^2}$): $$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \tag{2}$$ для периода колебаний шарика можно предположить зависимость: $$T=2 \pi \sqrt{\frac{f(R, r)}{g}} \tag{3}$$ где $f(R, r)$ – неизвестная функция радиуса кривизны вогнутой поверхности и радиуса шарика.

Часть A. Оптическая

A1 Соберите установку для измерения зависимости $b(a)$. Определите по полученным данным радиус кривизны вогнутой поверхности линзы $R_{опт}$ (индекс «опт» означает, что результат получен путем оптического эксперимента). Оцените погрешность полученного значения.

A S

Часть B. Осцилляционная

B1 Предположите вид зависимости $f(R, r)$. Учтите предельные случаи $R \rightarrow \infty$ и $r \rightarrow R$.

A S

B2 Соберите установку для изучения зависимости периода осцилляций шарика в линзе $T$ от радиуса шарика $r$ и измерьте эту зависимость. Для большей точности рекомендуется проводить серию из не менее, чем пяти измерений для каждого шарика.

A S

B3 Постройте график зависимости $T(r)$ в таких координатах, где он будет линейным. Определите по полученным данным радиус кривизны вогнутой поверхности линзы $R_{осц}$ (индекс «осц» означает, что результат получен путем осцилляционного эксперимента). Оцените погрешность полученного значения. Сравните результаты, полученные в пунктах A1 и B3.

A S

B4 Определите по графику из пункта B3 безразмерные коэффициенты, входящие в $f(R, r)$, и их погрешности.

S

B5 Функцию $f(R, r)$ можно рассчитать теоретически, но для этого нужны пока неизвестные вам математические методы. Предположите теоретические значения коэффициентов $f(R, r)$, основываясь на результатах ваших измерений. Известно, что коэффициенты являются десятичными дробями с одним знаком после запятой.

S

Указание. Перед каждым измерением в части B протирайте салфеткой поверхность линзы и шарик, так как их загрязнение приводит к уменьшению времени затухания колебаний.

Оборудование

1. Вогнуто-выпуклая линза
2. Cтальные шары радиусами $2.5~мм$, $5.0~мм$, $7.5~мм$, $10.0~мм$, $12.5~мм$, $15.0~мм$
3. Стакан для хранения шаров
4. Светодиод с источником питания
5. Линейка
6. Пластилин для фиксации линзы
7. Картонный экран
8. Секундомер
9. Салфетка для поддержания чистоты установки.