Определение радиуса кривизны сферической поверхности – задача с несколькими решениями из разных областей физики.
Например, если поверхность вогнута и частично отражает свет, то её можно использовать в качестве сферического зеркала. Для действительных изображений в вогнутом сферическом зеркале справедлива формула: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{R} \tag{1}$$ где $a$ – расстояние от источника до поверхности зеркала, $b$ – расстояние от поверхности зеркала до изображения, $R$ – искомый радиус кривизны (см. рисунок 1).
Радиус кривизны $R$ вогнутой сферической поверхности также можно определить с помощью шарика радиуса $r$, катающегося по ней без проскальзывания вокруг положения равновесия (см. рисунок 2).
По аналогии с периодом колебаний (или по-научному осцилляций) математического маятника (точечного тела ненулевой массы, подвешенного на идеальной нити длины $l$ в поле силы тяжести $g=9.8~{м}/{с^2}$): $$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \tag{2}$$ для периода колебаний шарика можно предположить зависимость: $$T=2 \pi \sqrt{\frac{f(R, r)}{g}} \tag{3}$$ где $f(R, r)$ – неизвестная функция радиуса кривизны вогнутой поверхности и радиуса шарика.
B3 Постройте график зависимости $T(r)$ в таких координатах, где он будет линейным. Определите по полученным данным радиус кривизны вогнутой поверхности линзы $R_{осц}$ (индекс «осц» означает, что результат получен путем осцилляционного эксперимента). Оцените погрешность полученного значения. Сравните результаты, полученные в пунктах A1 и B3.
B5 Функцию $f(R, r)$ можно рассчитать теоретически, но для этого нужны пока неизвестные вам математические методы. Предположите теоретические значения коэффициентов $f(R, r)$, основываясь на результатах ваших измерений. Известно, что коэффициенты являются десятичными дробями с одним знаком после запятой.
Указание. Перед каждым измерением в части B протирайте салфеткой поверхность линзы и шарик, так как их загрязнение приводит к уменьшению времени затухания колебаний.