A1  ^?? Соберите установку для измерения зависимости $b(a)$. Определите по полученным данным радиус кривизны вогнутой поверхности линзы $R_{опт}$ (индекс «опт» означает, что результат получен путем оптического эксперимента). Оцените погрешность полученного значения.

Соберем установку, показанную на рисунке 1. Для этого закрепим линзу с помощью пластилина в вертикальном положении так, чтобы горизонтальная координата самой «глубокой» точки на вогнутой поверхности линзы совпадала с координатой $0~см$ линейки, лежащей на столе. Чтобы расположить линейку максимально точно, можно осветить линзу светодиодом с ее боковой поверхности и на просвет оценить положение самой «глубокой» точки вогнутой поверхности. Линейку на столе закрепим пластилином на ее концах. Вдоль линейки будем двигать светодиод так, чтобы центр светодиода был примерно на той же высоте, что и центр линзы (для этого светодиод можно закрепить с помощью пластилина на крышке от источника питания, как на подставке). Снимем зависимость расстояния $b$ от центра вогнутой поверхности до изображения светодиода на экране от расстояния $a$ между светодиодом и центром вогнутой поверхности линзы:

$a,~см$	$b,~см$	${1}/{a},~м^{-1}$	${1}/{b},~м^{-1}$
20.0	3.9	5.0	25.6
16.0	4.2	6.3	23.8
12.0	4.6	8.3	21.7
10.0	4.9	10.0	20.4
8.0	5.7	12.5	17.5
7.0	6.6	14.3	15.2
6.0	7.4	16.7	13.5
5.0	9.7	20.0	10.3

Из формулы 1 видно, что радиус кривизны можно получить, определив координату точки пересечения графика ${1}/{b}\left({1}/{a}\right)$ с осями. Построим предложенный график:

Из графика определим радиус кривизны вогнутой поверхности линзы:$$R_{опт}=(6.60 \pm 0.07)~см \tag{4}$$

B1  ^?? Предположите вид зависимости $f(R, r)$. Учтите предельные случаи $R \rightarrow \infty$ и $r \rightarrow R$.

Из метода размерностей следует, что $[f(R, r)]=[м]$. Из рассмотрения критического случая $r\to R$ следует, что $f(R, R)=0$, так как, если радиус шара $r \to R$, период осцилляций стремится к нулю. Из рассмотрения критического случая $R\to \infty$ следует, что $f(R \to \infty, r)=\infty$, так как, если вогнутая поверхность стремится к горизонтальной, колебания становятся бесконечно длинными. Таким образом можно предположить функцию:$$f(R, r)=\alpha(R-r) \tag{5}$$

B2  ^?? Соберите установку для изучения зависимости периода осцилляций шарика в линзе $T$ от радиуса шарика $r$ и измерьте эту зависимость. Для большей точности рекомендуется проводить серию из не менее, чем пяти измерений для каждого шарика.

Расположим линзу горизонтально, вогнутой стороной вверх, прочно закрепив ее на парте пластилином. По вогнутой поверхности будем без начальной скорости запускать шарики разных радиусов и определять период $T$ их колебаний методом рядов и усреднением. Для этого измерим время $\tau_i N$ колебаний. Перед каждым запуском будем протирать линзу и шарик салфеткой:

B3  ^?? Постройте график зависимости $T(r)$ в таких координатах, где он будет линейным. Определите по полученным данным радиус кривизны вогнутой поверхности линзы $R_{осц}$ (индекс «осц» означает, что результат получен путем осцилляционного эксперимента). Оцените погрешность полученного значения. Сравните результаты, полученные в пунктах A1 и B3.

После преобразований исследуемая зависимость примет вид:
$$\frac{g T^2}{4 \pi^2}=\alpha(R-r) \tag{6}$$Построим график $\dfrac{g T^2}{4 \pi^2}(r)$ и определим $\alpha$ из углового коэффициента прямой, а $R_{осц}$ из координаты пересечения прямой и оси абсцисс:

Построим тот же график с указанием точки пересечения с осью абсцисс:

Из графика определим $\alpha$ и $R_{осц}$:
$$\alpha=(1.438 \pm 0.055), \quad R_{осц}=(7.21 \pm 0.31)~мм \tag{7}$$

B4  ^?? Определите по графику из пункта B3 безразмерные коэффициенты, входящие в $f(R, r)$, и их погрешности.

Интервалы допустимых с учетом погрешностей значений $R_{опт}$ и $R_{осц}$ не совпадают. Это обусловлено сферической аберрацией и неточечностью источника света в оптическом эксперименте, а также возможным проскальзыванием шарика при больших амплитудах колебаний в механическом эксперименте.

B5  ^?? Функцию $f(R, r)$ можно рассчитать теоретически, но для этого нужны пока неизвестные вам математические методы. Предположите теоретические значения коэффициентов $f(R, r)$, основываясь на результатах ваших измерений. Известно, что коэффициенты являются десятичными дробями с одним знаком после запятой.

Оценим $\alpha_{теор}=1.4$, учитывая полученное экспериментальное значение. Отметим, что это верное теоретическое значение, так как оно соответствует коэффициенту в формуле момента инерции однородного шара относительно касательной к нему оси вращения.