Электростатика. Электрический диполь

Будем считать диполь «точечным», то есть $|\vec r_+|\gg|\vec l|$.
\[|\vec l+\vec r_+|=r_+\sqrt{1+\frac{2\vec l\cdot\vec r_+}{r_+^2}}\]\begin{multline}
\vec E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r_+^3}\left(\vec r_+-\frac{\vec l+\vec r_+}{\left(1+\frac{2\vec l\cdot\vec r_+}{r_+^2}\right)^{3/2}}\right)
\approx \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r_+^3}\left(\vec r_+-\left(1-\frac{3\vec l\cdot\vec r_+}{r_+^2}\right)\left(\vec l+\vec r_+\right)\right)=\\
= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r_+^3}\left(-\vec l +\frac{3\vec l\cdot\vec r_+}{r_+^2}\vec r_++\frac{3\vec l\cdot\vec r_+}{r_+^2}\vec l\right)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^3_+}\left(\frac{3\left(\vec l\cdot\vec r_+\right)\left(\vec l+\vec r_+\right)}{r^2_+}-\vec l\right)
\approx\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left(\frac{3\vec r(\vec r\cdot\vec l)}{r^2}-\vec l\right)
\end{multline}

Введём дипольный момент $\vec p=q\vec l$.
Получаем формулу для вектора напряжённости поля электрического диполя на большом расстоянии от него (в этом случае можно считать его точечным):
\[\vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left(\frac{3(\vec p\cdot\vec r)\vec r}{r^2}-\vec p\right)\]Выведем потенциал поля диполя:
\begin{multline}
\varphi(\vec r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac 1{|\vec r_+|}-\frac 1{|\vec l+\vec r_+|}\right)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac 1{r_+}-\frac 1{r_+\sqrt{1+\frac{2\vec l\cdot\vec r_+}{r_+^2}}}\right)\approx\\
\approx\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r_+}\left(1-\left(1-\frac{\vec l\cdot\vec r_+}{r_+^2}\right)\right)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\frac{\vec p\cdot\vec r}{r^2}
\end{multline}Получаем ответ:
\[\varphi=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\vec p\cdot\vec r)}{r^3}\]Проверим $\vec E$, продифференцировав выражение для потенциала:
\[\vec E=-\vec\nabla\varphi\\
\vec\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial}{\partial z}\vec e_z\\
\vec\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec e_z=\operatorname{grad}(\varphi)\]Для удобства направим $x$ по $\vec r$.
\[\vec\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial r}\vec e_r+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec e_z=\operatorname{grad}(\varphi)\\
d\varphi=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{\vec p\cdot d\vec r}{r^3}-\frac{3\vec p\cdot\vec r}{r^4}dr\right)\\
\frac{\partial\varphi}{\partial r}=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{\vec p\cdot\vec e_r}{r^3}-\frac{3\vec p\cdot\vec r}{r^4}\right)\]Поскольку ось $x$ направлена по $\vec r$:
\[\frac{\partial r}{\partial y}=0\qquad\frac{\partial r}{\partial z}=0\\
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{\vec p\cdot\frac{\partial\vec r}{\partial z}}{r^3}-3\frac{\vec p\cdot\vec r}{r^4}\frac{\partial r}{\partial z}\right)=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec p\cdot\vec e_z}{r^3}\\
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec p\cdot\vec e_y}{r^3}\]\begin{multline}
\vec\nabla\varphi=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\left(\left(\frac{\vec p\cdot\vec e_r}{r^3}-\frac{3(\vec p\cdot\vec r)}{r^4}\right)\vec e_r+\frac{(\vec p\cdot\vec e_y)}{r^3}\vec e_y+\frac{(\vec p\cdot\vec e_z)}{r^3}\vec e_z\right)=\\

=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac 1{r^3}\left(p_r\vec e_r+p_y\vec e_y+p_z\vec e_z\right)-\frac{3(\vec p\cdot\vec r)}{r^4}\vec e_r\right)=\\
=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{\vec p}{r^3}-\frac{3(\vec p\cdot\vec r)\vec r}{r^5}\right)=-\vec E
\end{multline}Что показывает правильность полученной формулы для потенциала.

В общем виде дипольный момент системы вычисляется по формуле
\[\vec p=\sum q_i\vec r_i\]Дипольный момент аддитивен, то есть если наложить друг на друга несколько систем зарядов, то их суммарный дипольный момент равен: \[\vec p=\vec p_1+\vec p_2+...+\vec p_n\]Если в системе $\sum q_i=0$, то дипольный момент не зависит от выбора точки отсчёта (покажем это, сместив точку отсчёта на $\vec r_0$):
\[\sum q_i \vec r_i=\sum q_i(\vec r_i'+\vec r_0)=\sum q_i\vec r_i'+\sum q_i\vec r_0\\
\sum q_i\vec r_0 = 0\\
\sum q_i = 0;\quad \vec r_0=const\quad \Rightarrow\quad \sum q_i\vec r_0=0\]Если заряд системы ненулевой, то на больших расстояниях от неё в первых двух приближениях её электрическое поле является суммой поля точечного заряда, равного суммарному заряду системы, и поля диполя, определяющегося формулой выше. Молекулы и атомы обладают нулевым суммарным зарядом, для описания их электрических полей обычно используют дипольное приближение.

Найдём распределение поверхностной плотности заряда на проводящем шаре при помещении его в однородное электростатическое поле $\vec E_0$.

Поскольку электростатическое поле в проводнике равно нулю, а мы поместили проводящий шар в однородное электростатическое поле, то и шар создаёт внутри себя однородное поле, направленное в сторону, противоположную внешнему. Таким образом металлический шар в однородном поле можно представить в виде двух смещённых на бесконечно малое расстояние $\vec l$ равномерно заряженных сфер.
Найдём распределение зарядов на поверхности шара:
\[\sigma=\frac{dq}{dS}=-\rho h=-\rho l\cos\theta\\
\sigma(\theta)=-3\varepsilon_0E_0\cos\theta\]Поскольку поле шара снаружи идентично полю точечного заряда, помещенного в центр шара, два наложенных шара можно рассматривать как диполь с дипольным моментом
\[\vec p=q\vec l=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \vec l=\frac{4}{3} \pi R^3 \cdot 3 \varepsilon_0 \vec E_0\\
\vec p=4\pi\varepsilon_0R^3\vec E_0\]
В итоге получаем, что поле внутри шара нулевое, а снаружи является суперпозицией однородного внешнего поля $\vec E_0$ и поля, создаваемого диполем $\vec p$.

Пусть $\vec E(\vec r_-)=\vec E_0$
По формуле Тейлора:\[\vec F\approx q\left(\vec E_0+\left(\vec l\cdot\vec\nabla\right)\vec E-\vec E_0\right)=q\left(\vec l\cdot\vec\nabla\right)\vec E\]При этом $\left(\vec l\cdot\vec\nabla\right)$ – оператор, действующий следующим образом:
\[\left(\vec l\cdot\vec\nabla\right)=\vec l\cdot\left(\frac{\partial}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial}{\partial z}\vec e_z\right)=\frac{\partial}{\partial x}l_x+\frac{\partial}{\partial y}l_y+\frac{\partial}{\partial z}l_z\]$\left(\vec l\cdot\vec\nabla\right)\vec E=\Delta\vec E$ – изменение напряженности электрического поля $\vec E$ вдоль диполя.
\[\vec F=\left(\vec p\cdot\vec\nabla\right)\vec E\]Если направить ось $x$ вдоль $\vec p$:\[\vec F=p\frac{\partial\vec E}{\partial x}\] Важно помнить, что это разложение до первого порядка по $l$.

Найдём момент сил, действующих на диполь:
\[\vec E(\vec r_-)=\vec E_0\]\begin{multline}\vec M=q\left[\vec r_+\times\vec E(\vec r_+)\right]-q\left[\vec r_-\times\vec E(\vec r_-)\right]=\\=q\left[\left(\vec r_-+\vec l\right)\times\vec E(\vec r_-+\vec l)\right]-q\left[\vec r_-\times\vec E(\vec r_-)\right]
\approx q\left(\left(\vec r_-+\vec l\right)\times\left(\vec E_0+\left(\vec l\cdot\vec\nabla\right)\vec E\right)-\left[\vec r_-\times\vec E_0\right]\right)=\\=
q\left(\left[\vec l\times\vec E_0\right]+\left[\vec l\times\left(\vec l\cdot\vec\nabla\right)\vec E\right]\right)\approx q\left[\vec l\times\vec E_0\right]
\end{multline}где пренебрежено слагаемым второго порядка малости по $l$.
Также без потери общности заменим $\vec E_0$ на $\vec E$ - поле в месте нахождения точечного диполя:\[\vec M=\left[\vec p\times\vec E\right]\]Рассмотрим несколько частных случаев взаимодействия диполей между собой. В качестве вспомогательной задачи сначала продифференцируем поле диполя по произвольной переменной $a$:
\[\vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r_+^3}\left(\frac{3\vec r(\vec r\cdot\vec p)}{r^2}-\vec p\right)\\
\frac{\partial\vec E}{\partial a}=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\left(
\frac{3\left(\vec p\cdot\frac{\partial\vec r}{\partial a}\right)\vec r}{r^5}
+\frac{3(\vec p\cdot\vec r)\frac{\partial\vec r}{\partial a}}{r^5}
-\frac{15(\vec p\cdot\vec r)\vec r}{r^6}\frac{\partial r}{\partial a}
+\frac{3\vec p}{r^4}\frac{\partial r}{\partial a}
\right)\]
Далее будем направлять координатную ось $a$ по $\vec p_2$.

Если диполи повёрнуты произвольно, то их можно разложить на взаимно перпендикулярные и параллельные. Тогда можно рассматривать новые диполи попарно и потом сложить силы.

Энергия диполя

Рассмотрим небольшую стационарную систему заряженных частиц с суммарным зарядом $\sum q_i=0$ во внешнем поле $\vec E$. Под стационарной системой подразумевается система, которая остаётся связанной, если на неё не действуют внешние силы (например, молекула). Введём обозначения:

• $q_i$ – величина заряда $i$-ой частицы,  
• $V_i$ – скорость $i$-ой частицы в лабораторной системе отсчёта,  
• $v_0$ – скорость центра масс системы,  
• $v_i$ – скорость $i$-ой частицы в системе отсчёта центра масс,  
• $R_i$ – радиус-вектор $i$-ой частицы, 
• $r_0$ – радиус-вектор центра масс, 
• $r_i$ – радиус-вектор $i$-ой частицы относительно центра масс, 
• $\vec E_0$ – величина электрического поля в точке нахождения центра масс системы, 
• $\vec E_i$ – внешнее поле в точке нахождения $i$-ой частицы, 
• $\vec F_i$ – сила, действующая со стороны внешнего электрического поля на $i$-ую частицу.

Поскольку размеры системы малы, найдём $\vec E_i$ разложением до первого порядка по $r_i$:
\[\vec E_i=\vec E_0+\left(\vec r_i\cdot\vec\nabla\right)\vec E\\
\vec R_i=\vec r_0+\vec r_i\\
\vec V_i=\vec v_0+\vec v_i\]
Введём дипольный момент системы $\vec p$:
\[\vec p=\sum_{i=1}^nq_i\vec R_i=\vec r_0\sum_{i=1}^nq_i+\sum_{i=1}^nq_i\vec r_i=\sum_{i=1}^nq_i\vec r_i\\
\dot{\vec r_i}=\vec v_i\\
\dot{\vec p}=\sum q_i\vec v_i\]
Найдём работу внешнего электрического поля:
\begin{multline}
\frac{dA_{эл. поля}}{dt}=\sum\vec F_iV_i=\sum q_i\vec E_i V_i=\sum q_i\left(\vec E_0+\left(\vec r_i\cdot\vec\nabla\right)\vec E\right)\vec V_i=\\=\sum q_i\vec E_0\cdot\vec v_0+\sum q_i\vec E_0\cdot\vec v_i+\sum q_i\left(\left(\vec r_i\cdot\vec
\nabla\right)\vec E\right)\cdot\vec v_0+\sum q_i\left(\left(\vec r_i\cdot\vec
\nabla\right)\vec E\right)\cdot\vec v_i \end{multline}Первое слагаемое зануляется, так как\[\quad\vec E_0\cdot\vec v_0=const;\quad \sum q_i=0\]Второе слагаемое равно $\vec E_0\cdot\dot{\vec p}$, так как
\[\sum q_i\vec v_i=\sum q_i\dot{\vec r}_i=\dot{\vec p}\]Третье слагаемое преобразуется к виду $\left(\vec p\cdot\vec\nabla\right)\vec E\cdot\vec v_0$.
Четвёртым слагаемым пренебрежём, поскольку оно порядка $\vec r_i\cdot\dot{\vec r}_i$\[\frac{dA_{эл. поля}}{dt}=\vec E_0\cdot\dot{\vec p}+\left(\vec p\cdot\vec\nabla\right)\vec E\cdot\vec v_0\]Пусть $\vec e_p$ – единичный вектор, направленный по $\vec p$. Представим производную по времени от дипольного момента в виде
\[\dot{\vec p}=\left[\vec\omega\times\vec p\right]+\dot p\vec e_p\](то есть вращение вектора $\vec p$ как целого и изменение его модуля).
Распишем слагаемое $\left(\vec p\cdot\vec\nabla\right)\vec E$.
Направим ось $x$ по $\vec p$:\begin{multline}
\left(\vec p\cdot\vec\nabla\right)\vec E \cdot d\vec r=p\frac{\partial\vec E}{\partial x}\cdot d\vec r=\\
=p(dx\vec e_x+dy\vec e_y+dz\vec e_z)\cdot\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial E_y}{\partial x}\vec e_y+\frac{\partial E_z}{\partial x}\vec e_z\right)=\\
=p\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}dx+\frac{\partial E_x}{\partial y}dy+\frac{\partial E_x}{\partial z}dz\right)=pdE_x=\vec p\cdot d\vec E
\end{multline}где использовано условие потенциальности электростатического поля\[\left[\vec\nabla\times\vec E\right]=0\\
\begin{vmatrix}\vec e_x&\vec e_y&\vec e_z\\
\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\E_x&E_y&E_z\end{vmatrix}=\vec e_x\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right)+\vec e_y\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)+\vec e_z\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)=0\\
\frac{\partial E_z}{\partial y}=\frac{\partial E_y}{\partial z},\qquad
\frac{\partial E_x}{\partial z}=\frac{\partial E_z}{\partial x},\qquad
\frac{\partial E_y}{\partial x}=\frac{\partial E_x}{\partial y}\]Получаем ответ:\[\left(\vec p\cdot\vec\nabla\right)\vec E \cdot d\vec r=dW_{цм}\\
\frac{dA_{эл. поля}}{dt}=\left[\vec\omega\times\vec p\right]\cdot\vec E_0+\dot p\left(\vec e_p\cdot\vec E_0\right)+\left(\vec p\cdot\vec\nabla\right)\vec E\cdot\vec v_0=\frac{dW_{вращ}}{dt}+\frac{dW_{пот}}{dt}+\frac{dW_{цм}}{dt}\]Первое слагаемое отвечает за изменение вращательной энергии системы как целого, второе за изменение внутренней энергии системы, а третье за изменение поступательной энергии движения центра масс, то есть системы как целого.

Рассмотрим 2 случая:
1) Жёсткий диполь $p=const$:
\[\frac{dA_{эл. поля}}{dt}=\vec E\cdot\dot{\vec p}+\left(\vec p\cdot\vec\nabla\right)\vec E\cdot\vec v_0\\
dA_{эл. поля}=\vec E\cdot d\vec p+\vec p\cdot d\vec E=d\left(\vec p\cdot\vec E\right)\]Можем ввести потенциальную энергию $\Pi$ диполя во внешнем поле. Тогда по ЗСЭ:\[\Pi+W_{кин}=const\\
\Pi=-\vec p\cdot\vec E\]
2) Мягкий диполь $\vec p=\alpha\vec E$:
\[dA_{эл. поля}=\vec E\cdot d\vec p+\vec p\cdot d\vec E\\
\vec E\cdot d\vec p=\left([\vec\omega\times\vec p]\cdot\vec E\right)dt+\left(\vec l_p\cdot\vec E\right)dp\]$[\vec\omega\times\vec p]\cdot\vec E = 0$ поскольку $\vec p\parallel\vec E$
\[\Pi+W_{кин}=const\\
\Delta W_{кин}=\int \vec p\cdot d\vec E=\frac{\alpha E^2}{2}=\frac{\vec p\cdot\vec E}{2}\\
\Pi=-\frac{\vec p\cdot\vec E}{2}\]

Магнитостатика

Заметим, что формулы для вектора магнитной индукции, приведённые выше, эквивалентны, поскольку для провода:
\[q=\rho dlS\\
I=\rho Sv\]Где $\rho$ – плотность тока, $S$ – площадь сечения проводника.
Рассмотрим несколько базовых примеров нахождения вектора магнитной индукции:

• Пример 1. Поле бесконечного провода на расстоянии $r_0$ от него

• Пример 2. Поле кольца с током

• Пример 3. Поле соленоида

Теорема Гаусса и теорема о циркуляции

Теорема Гаусса для вектора напряжённости магнитного поля:
Поток вектора индукции магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен $0$.
\[\oint_{S}\left(\vec B\cdot d\vec S\right)=0\]

где $d\Omega$ – телесный угол, под которым виден этот участок плоскости.
Таким образом, если плоская поверхность с постоянным поверхностным током $i$ видна из некоторой точки пространства под телесным углом $\Omega$, то компонента магнитного поля, создаваемого данной плоской поверхностью, параллельная поверхности и перпендикулярная направлению протекания тока, определяется выражением
\[B=\frac{\mu_0}{4\pi}i\Omega\]Для бесконечной плоскости:
\[\Omega=2\pi\\
B=\frac{\mu_0i}{4\pi}2\pi=\frac{\mu_0i}{2}\]Составляющей, перпендикулярной плоскости, а также параллельной направлению тока, у магнитного поля не будет из соображений симметрии. Заметим, что этот же результат можно получить и при помощи теоремы о циркуляции.
В верхнем полупространстве поле будет:
\[\vec B_{\text{пл}}=\frac {\mu_0}2\left[i\vec e_i\times\vec n\right]\]

• Пример 4. Бумажный соленоид

• Пример 5. Поле в соленоиде

Движение заряда в магнитном поле

Сила Лоренца:
\[\vec F_{\text{л}}=q\left[\vec v\times\vec B\right]\\
P=\left(\vec F_{\text{л}}\cdot\vec v\right)=\vec v\cdot q\left[\vec v\times\vec B\right]=0\]То есть энергия частицы не меняется (магнитное поле не совершает работы). То есть и модуль скорости постоянен.
\[\frac{d\left(\vec v\cdot\vec B\right)}{dt}=\frac{d\vec v}{dt}\cdot\vec B=\frac{\vec F_{\text{л}}}{m}\cdot\vec B=0\\
\left(\vec v\cdot\vec B\right)=const\\
v_{\parallel}=const\](компонента скорости, направленная вдоль $\vec B$, постоянна).
\[\left|\vec v\right|=const;\quad v_{\parallel}=const\quad\Rightarrow\quad v_{\perp}=const\]То есть вектор скорости $\vec v$ вращается с сохранением компоненты, направленной вдоль $\vec B$.

Электрическое и магнитное поле

Рассмотрим два частных случая:

• $\vec B\parallel\vec E$

Разложим вектор $\vec v$ на две компоненты:

1. $\vec v_\parallel$ – компонента, параллельная $\vec B$,
2. $\vec v_\perp$ – компонента, перпендикулярная $\vec B$.

\[\vec v_{\parallel}=\vec v_{\parallel0}+\frac{\vec E qt}{m}\\
\vec v_{\perp}=const\quad\Rightarrow\quad R=const\]Движение заряженной частицы происходит по винтовой линии с увеличивающимся шагом, но постоянным радиусом.

• $\vec B\perp\vec E$

\[\vec v_{\parallel}=const\\ m\vec a=q\vec E+q\left[\vec v\times\vec B\right]\] Представим скорость $\vec v$ как $\vec v=\vec v_\text{дрейф}+\vec u(t)$, где $\vec v_\text{дрейф}=\overrightarrow{const}$ – постоянная компонента скорости, а $\vec u(t)$ – изменяющаяся компонента.

Дальнейшие утверждения верны только для случая $\frac EB\ll c$, где $c$ – скорость света.
\[m\ddot{\vec u}=q\vec E+q\left[\vec v_\text{дрейф}\times\vec B\right]+q\left[\vec u\times\vec B\right]\] Выберем такое $\vec v_\text{дрейф}$, что \[\vec E+\left[\vec v_\text{дрейф}\times\vec B\right]=0\\ \left[\vec B\times\vec E\right]+\left[\vec B\times\left[\vec v_\text{дрейф}\times\vec B\right]\right]=0\\ \left[\vec B\times\vec E\right]+\vec v_\text{дрейф}B^2-\vec B\left(\vec v_\text{дрейф}\cdot\vec B\right)=0\] Возьмём $\vec v_\text{дрейф}\perp\vec B$. \[\left(\vec v_\text{дрейф}\cdot\vec B\right)=0\\ \vec v_\text{дрейф}=\frac{\left[\vec E\times\vec B\right]}{B^2}\]Поскольку изначально $\vec E\perp\vec B$:
\[|\vec v_\text{дрейф}|=\frac{E}{B}\]Скорость $\vec v_\text{дрейф}$ называется дрейфовой скоростью. В системе отсчёта, движущейся со скоростью $\vec v_\text{дрейф}$, 2-ой закон Ньютона будет выглядеть следующим образом:
\[m\dot{\vec u}=q\left[\vec u\times\vec B\right]\]В такой системе отсчёта задачи на движение частиц в перпендикулярных полях решаются значительно проще.

• Пример 6. Скрещивающиеся поля

Магнитные диполи

Поскольку поле точечного диполя аксиально симметрично, полученное выражение справедливо для любой плоскости, проходящей через $\vec m$, то есть для всего пространства. Если магнитный диполь не является точечным, то полученное выражение является приближённым и справедливо только на больших расстояниях от диполя.

Заметим, что формула поля магнитного диполя совпадает с формулой поля электрического диполя с точностью до коэффициентов.

Найдём энергию магнитного диполя во внешнем поле.

По закону сохранения энергии:
\[W_{кин}+\Pi=const\]где $\Pi$ – потенциальная энергия магнитного диполя.
\[\Pi=\int_0^\theta M d\theta=\int_0^\theta mB\sin\theta d\theta\\
\Pi=-\left(\vec m\cdot\vec B\right)\]Это выражение для потенциальной энергии магнитного диполя справедливо с точностью до константы.

Найдём силу, действующую на диполь:
Пусть виток сместился в направлении $\vec m$ на малое расстояние $d\vec r$. Тогда механическая работа $\delta A=Fdr$, изменение магнитного потока через контур $d\Phi=S\frac{\partial B_m}{\partial r}dr$, где $B_m$ – компонента вектора $\vec B$, направленная вдоль $\vec m$, а $S$ – площадь витка с током. Тогда изменение энергии витка $dE=Id\Phi$.
По закону сохранения энергии:
\[dE=\delta A\\
Id\Phi=Fdr\\
F=IS\frac{\partial B_m}{\partial r}=m\frac{\partial B_m}{\partial r}\]Раскладывая вектор $\vec m$ на компоненты, направленные вдоль координатных осей, получаем выражение для одной компоненты силы:
\[F_x=m_x\frac{\partial B_x}{\partial x}+m_y\frac{\partial B_x}{\partial y}+m_z\frac{\partial B_x}{\partial z}\]Аналогичные формулы имеют остальные компоненты силы. Записывая в векторном виде:
\[\vec F=\left(\vec m\cdot\vec\nabla\right)\vec B\]Заметим, что формулы для $\vec M$, $\Pi$, $\vec F$ аналогичны таковым для электрического диполя.

• Пример 7. Виток на соленоиде