1  ^?? Определите его скорость $v$ в момент, когда электрон достигает анода. Дайте ответ для двух случаев: в нерелятивистском и релятивистском приближениях.

Потенциальная энергия $eV$ переходит в кинетическую:
$$\frac{mv^2}{2} = eV \text{(нерелятивистский случай)},\\
\frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - mc^2 = eV \text{(релятивистский случай)}.$$Следовательно,
$$v = \begin{cases} \sqrt{\dfrac{2eV}{m}} & \text{(нерелятивистский случай)}
\\c\sqrt{1 - \left( \dfrac{mc^2}{mc^2 + eV} \right)^2} & \text{(релятивистский случай)} \tag{1} \end{cases}$$

2  ^?? Определите $B_c$.

Когда $V = 0$, электрон движется в постоянном магнитном поле. Сила Лоренца перпендикулярна скорости движения электрона. В этом случае она сообщает электрону центростремительное ускорение, т.е.
$$eBv_0 = \frac{mv_0^2}{R}.$$Отсюда
$$B = \frac{mv_0}{eR}. \tag{2}$$

Из рисунка видно, что для критического случая
$$\sqrt{a^2 + R^2} = b - R,\\
a^2 + R^2 = b^2 - 2bR + R^2,\\
R =\frac{b^2 - a^2}{2b}.$$

Подставив это выражение для радиуса в формулу $(2)$, получаем значение индукции магнитного поля для критического случая:
$$B_c = \frac{mv_0}{eR} = \frac{2bmv_0}{e(b^2 - a^2)}.$$

3  ^?? Напишите уравнение для скорости изменения момента импульса $d \vec L / dt$. Покажите, что из него следует, что величина
$$C = L - keBr^2$$(где $k$ $-$ безразмерный коэффициент, $r$ $-$ расстояние от оси цилиндра)
остаётся постояной в процессе движения электрона. Определите значение $k$.

Азимутальная компонента $F_\varphi$ силы Лоренца $\vec F = -e[\vec B \times \vec v]$ обусловливает момент силы $F_\varphi r$. Он зависит только от радиальной компоненты скорости $v_r = dr/dt$.
Следовательно,
$$\frac{dL}{dt} = eBr\frac{dr}{dt}.$$Преобразуем это выражение:
$$\frac{d}{dt}\left( L - \frac{eBr^2}{2} \right) = 0.$$Следовательно,
$$C = L - \frac{1}{2} eBr^2 = \text{const}. \tag{3}$$Отсюда безразмерная величина $k$, заданная в условии задачи, равна $1/2$.

4  ^?? Определите скорость электрона $v$ в точке максимального удаления в зависимости от $r_m$.

Воспользуемся постоянством $C$ для определения максимального расстояния $r_m$ от оси цилиндра:
$$0 - \frac{eBa^2}{2} = mvr_m - \frac{eBr_m^2}{2}.$$Отсюда
$$v = \frac{eB(r_m^2 - a^2)}{2mr_m}.$$

5  ^?? Определите $B_c$.

При критическом значении $B_c$ индукции магнитного поля максимальное значение $r_m$ равно $b$, поэтому
$$v = \frac{eB_c(b^2 - a^2)}{2mb}.$$Кинетическая энергия переходит в потенциальную (используем результаты, полученные в п.1):
$$v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}.$$Используя оба выражения для $v$, получаем
$$\frac{eB_c(b^2 - a^2)}{2mb} = \sqrt{\frac{2eV}{m}}.$$Критическое значение $B_c$ индукции магнитного поля равно
$$B_c = \frac{2b}{b^2 - a^2} \sqrt{\frac{2mV}{e}}.$$

6  ^?? Определите в этой ситуации критическое значение $B_c$ индукции магнитного поля, при коротом электрон не достигает анода.

Сила Лоренца не имеет составляющей, параллельной направ лению индукции магнитного поля, и, следовательно, составляющая скорости, параллельная индукции, остается постоянной в процессе движения:
$$\vec v_B = \text{const}.$$Обозначим через $v$ азимутальную скорсть электрона вблизи анода. Из закона сохранения энергии получаем:
$$\frac{m(v_B^2 + v_\varphi^2 + v_r^2)}{2} + eV = \frac{m(v_B^2 + v^2)}{2}.$$Отсюда
$$v = \sqrt{v_r^2 + v_\varphi^2 + \frac{2eV}{m}}. \tag{4}$$Используя постоянство $C$, запишем:
$$mv_\varphi a - \frac{eB_ca^2}{2} = mvb - \frac{eB_cb^2}{2}.$$Решая совместно с $(4)$, получаем
$$B_c = \frac{2m(vb - v_\varphi a)}{e(b^2 - a^2)} = \frac{2mb}{e(b^2 - a^2)} \left( \sqrt{v_r^2 + v_\varphi^2 + \frac{2eV}{m}} - v_\varphi \frac{a}{b} \right).\tag{5}$$