Применим второй закон Ньютона для движущихся тел: груза, доски и бруска:
$$
\begin{aligned}
T-F_{\text {тр }} &=m_{1} a_{1},
\\
M g-T &=M a_{1},
\\
F_{\text {тр }}-k x &=m_{2} a_{2}.
\end{aligned}
$$
Здесь $T$ - сила натяжения нити, $F_{тр}$ - сила трения, $x$ - удлинение пружины.
Пока $F_{тр}<\mu m_{2} g$, проскальзывания не будет. Искомый путь $L$ найдём из условия $a_{1}=a_{2}$, или иначе:
$$
\frac{M g-\mu m_{2} g}{m_{1}+M}=\frac{\mu m_{2} g-k x}{m_{2}}.
$$
Отсюда
$$
L=\frac{g}{k} \frac{m_{2}}{m_{1}+M} \cdot\left[\mu\left(m_{1}+m_{2}+M\right)-M\right].
$$
Если
$$
\mu<\frac{M}{m_{1}+m_{2}+M}=\mu_{\min },
$$
сразу начинается проскальзывание, то есть $L=0$.
При достаточно большом коэффициенте трения $\mu$ система, будучи предоставленная самой себе, начнёт совершать колебательное движение с амплитудой $A=M g / k$. Максимальное растяжение пружины равно $2 A$. Тогда из условия $L_{\max }=2 A$ мы сможем определить минимальный коэффициент трения $\mu_{0}$, при котором проскальзывания не будет:
$$
\mu_{0}=\frac{M}{m_{2}} \frac{2 m_{1}+m_{2}+2 M}{m_{1}+m_{2}+M}.
$$
Итак, если $\mu>\mu_{0}$, то $L \rightarrow \infty$. Если
$$
\frac{M}{m_{1}+m_{2}+M}<\mu<\mu_{0}=\frac{M}{m_{2}} \frac{2 m_{1}+m_{2}+2 M}{m_{1}+m_{2}+M},
$$
то
$$
L=\frac{g}{k} \frac{m_{2}}{m_{1}+M} \cdot\left[\mu\left(m_{1}+m_{2}+M\right)-M\right] .
$$
Если
$$
\mu<\mu_{\min }=\frac{M}{m_{1}+m_{2}+M}, \quad \text { то } \quad L=0.
$$
Зависимость $L$ от $\mu$ изображена на рисунке.
Теперь вычислим время движения бруска до начала проскальзывания. В это время система движется по гармоническому закону:
$$
L=\frac{M g}{k}(1-\cos \omega t),
$$
где $\omega^{2}=k /\left(m_{1}+m_{2}+M\right)$. Отсюда получим, что при $\mu \leqslant \mu_{0}$:
$$
t=\left(\frac{m_{1}+m_{2}+M}{k}\right)^{1 / 2} \cdot \arccos \left(1-\frac{k L}{M g}\right) .
$$
А при $\mu>\mu_{0}$ проскальзывание никогда не начнется.