Через центр неподвижного куба со стороной $a$, равномерно заряженного по объёму с плотностью заряда $\rho$, проходит узкий прямолинейный канал. Расстояние от центра куба до пересечения канала с гранями равно $L$. В канале находится частица с массой $m$ и зарядом $q$. Найдите период малых колебаний частицы вблизи центра. Гравитационным взаимодействием частицы и куба можно пренебречь. Заряды куба и частицы разноимённые.
1M1
Идея разбиения на кубы ($+\rho$, $-\rho$) или 3 пластины
0.20
2M1
Толщина пластин правильно связана со смещением частицы $h_x$ (либо $2h_x$ с одной стороны, либо $h_x$ с двух сторон и с противоположными зарядами)
0.20
3M1
Дано правильное исходное выражение (например, в виде интеграла) для электрического поля (или потенциала), созданного одной из пластин в центре куба.
0.30
4M1
Получено выражение для поля пластины не зависящее от $a$ и $\alpha$ (ориентация канала)
0.30
5M1
Итоговое выражение для поля пластины не содержащее интегралы $E=\cfrac{\rho h}{6\epsilon_0}$
0.30
6M1
Записана векторная сумма сил (или показывается, что электростатическая сила направлена вдоль канала)
0.20
7M1
Верное выражение для силы и направления $\vec{F} = \cfrac{q\rho}{3\epsilon_0}\vec{r}$. Ключевым является направление, оно должно явно следовать из выражения.
0.30
8M2
Записан дифференциал потенциала или поля от маленького элемента куба
0.20
9M2
Записан трехмерный интеграл для поля или потенциала
0.20
10M2
The above integral is transformed such that it becomes independent of $a$ and the orientation of the channel
0.60
11M2
Верное значение напряженности или потенциала $E=\cfrac{\rho h}{6\epsilon_0}$ (без интеграла)
0.50
12M2
Верное выражение для силы и направления $\vec{F} = \cfrac{q\rho}{3\epsilon_0}\vec{r}$. Ключевым является направление, оно должно явно следовать из выражения.
0.30
13M3
Доказательство центральности поля (например, $V = Ax^2 + By^2 + Cz^2$)
0.50
14M3
Доказательство центральной симметричности поля (e.g. $A=B=C, V=A\cdot r^2$)
0.50
15M3
Найдено правильное значение коэффициента $A$ в доказательстве выше (например, из теоремы Гаусса)
0.20
16M3
Запись теоремы Гаусса
0.30
17M3
Верное выражение для силы $\vec{F} = \cfrac{q\rho}{3\epsilon_0}\vec{r}$
0.30
18
Дифференциальное уравнение колебаний
0.20
19
Верное выражение для периода (с любым знаком под корнем) $T = 2\pi \sqrt{\cfrac{3\epsilon_0 m}{|q||\rho|}}$. Оценивается только при правильном и обоснованном методе.
0.40
20
Верный знак по корнем (т.е. ответ для периода содержит $\sqrt{-\rho q}$). Оценивается, даже если ответ не правильный.
