1  ^?? Определите траектории движения материальных точек.

Вследствие симметрии все материальные точки будут двигаться по одинаковым траекториям, оставаясь в каждый момент времени на окружности некоторого переменного радиуса $r(t)$ и в вершинах квадрата со сторонами $a=\sqrt{2} r$.
На каждую материальную точку действуют три силы $\vec{F}_{1}$, $\vec{F}_{2}$ и $\vec{F}_{3}$ (см. рисунок).

По закону Кулона модули этих сил:
$$
F_{1}=F_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{2 r^{2}}, \quad F_{3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{4 r^{2}}.
$$
Результирующая сила всегда направлена к центру (точка $O$), a её модуль равен
$$
F(r)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q^{2}}{2 r^{2}} \sqrt{2}-\frac{q^{2}}{4 r^{2}}\right)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{r^{2}}\left(\frac{2 \sqrt{2}-1}{4}\right).
$$
Отсюда следует, что каждая из материальных точек движется так, как если бы из центра её притягивал заряд, противоположный по знаку и равный по абсолютной величине:
$$
Q=q\left(\frac{2 \sqrt{2}-1}{4}\right).
$$
Формула для $F(r)$ аналогична закону Кулона (или закону всемирного тяготения), то есть $F(r) \sim 1 / r^{2}$. Поэтому траектории точек эллипсы с большой осью $R_{0}+R_{1}$. Точка $O$ находится в одном из фокусов этих эллипсов.

2  ^?? Определите период движения материальных точек.

Период $T$ обращения точек по эллиптической орбите может быть найден из третьего закона Кеплера.
Найдём сначала период $T_{0}$ обращения точечной массы $m$, движущейся под действием силы $F(r)$ по круговой орбите радиуca $r=R_{0}$:
$$
T_{0}=\frac{2 \pi R_{0}}{v_{0}}, \quad \frac{m v_{0}^{2}}{R_{0}}=F\left(R_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{R_{0}^{2}}\left(\frac{2 \sqrt{2}-1}{4}\right).
$$
Из этих соотношений следует:
$$
v_{0}=q\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{2 \sqrt{2}-1}{4 m R_{0}}\right)^{1 / 2}.
$$
Такая скорость должна быть сообщена материальным точкам, чтобы они двигались по окружности радиуса $R_{0}$. Тогда
$$
T_{0}=\frac{2 \pi}{q}\left(4 \pi \varepsilon_{0} \frac{4 m R_{0}^{3}}{2 \sqrt{2}-1}\right)^{1 / 2}.
$$
По третьему закону Кеплера:
$$
\left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{2}=\left(\frac{R_{0}+R_{1}}{2 R_{0}}\right)^{3},
$$
откуда
$$
T=T_{0}\left(\frac{R_{0}+R_{1}}{2 R_{0}}\right)^{3 / 2}.
$$
Используя формулу для $T_{0}$, получим период движения точек:
$$
T=\frac{2 \pi}{q}\left(4 \pi \varepsilon_{0} \frac{m\left(R_{0}+R_{1}\right)^{3}}{2(2 \sqrt{2}-1)}\right)^{1 / 2}.
$$