Pho.rs: Усилитель

1 ^?? При каких значениях $U_a$ зависимость напряжения $U$ на выходе усилителя от времени будет иметь форму синусоиды, если сопротивление резистора равно: а) $R=5\ Ом$; б) $R=16\ Ом$?

Если $I$ — сила тока, текущего между стоком и истоком в цепи усилителя, то $${\cal E}=IR+U \qquad\Rightarrow\qquad I=\frac{{\cal E}-U}{R}.$$ Данная зависимость называется нагрузочной характеристикой, а её график, в данном случае, — нагрузочной прямой. Учитывая, что эта прямая проходит через точки с координатами $(0;{\cal E}/R)$ и $({\cal E};0)$, построим её поверх вольт-амперной характеристики, приведённой в условии, и определим точку их пересечения. В результате получим, что

при $I_{нас}< {\cal E}/R$ (синяя линия на рис. 1), сила тока, текущего от стока к истоку, равна $I=I_{нас}$, а $U={\cal E}-I_{нас}R>0$;
при $I_{нас}\geq {\cal E}/R$ (красная линия на рис. 1), напряжение между стоком и истоком $U=0$, а сила тока $I={\cal E}/R$.

Таким образом, напряжение на выходе усилителя не может быть отрицательным, то есть $U\geq 0$.

Рис. 1

Согласно графику зависимости $I_{нас}(U_{зи})$, приведённому в условии, на участке $U_{зи}> -U_0$ эта зависимость линейна: $$I_{нас}=\frac{I_0}{U_0}\left(U_{зи}+U_0\right),$$ следовательно, линейной будет и зависимость $U(U_{зи})$: $$U={\cal E}-I_{нас}R={\cal E}-I_0R-\frac{I_0R}{U_0}\cdot U_{зи}.\qquad{(*)}$$ В этом случае выходной сигнал будет отличаться от входного лишь сдвигом и масштабированием, то есть синусоида, например, останется синусоидой: $$U_{зи}=U_a\sin\left(\frac{\pi t}{\tau}\right) \qquad\Rightarrow\qquad U(t)={\cal E}-I_0R-\frac{I_0R}{U_0}\cdot U_a\sin\left(\frac{\pi t}{\tau}\right).$$ Данное правило нарушается в двух случаях:

$U_{зи}\leq-U_0$. Тогда $$I_{нас}=0\qquad\Rightarrow\qquad I=0\ \quad при\ любом\ U\qquad\Rightarrow\qquad U={\cal E}.$$
$U=0$. В этом случае $$I_{нас}=\frac{I_0}{U_0}\left(U_{зи}+U_0\right)\geq \frac{{\cal E}}{R} \qquad\Rightarrow\qquad U_{зи}\geq U_0\cdot\frac{{\cal E}-I_0R}{I_0R}.$$

Подытожим: синусоидальный сигнал на входе преобразуется усилителем в синусоидальный сигнал на выходе, если для всех $U_{зи}$, удовлетворяющих условию $|U_{зи}|\leq U_a$, выполняется неравенство $$-U_0\leq U_{зи}\leq U_0\cdot\frac{{\cal E}-I_0R}{I_0R}.$$

a) Пусть $R=5\ Ом$. Тогда, подставляя остальные данные, получим $$-1\ В\leq U_{зи}\leq 3\ В.$$ Отсюда делаем вывод, что зависимость $U(t)$ будет сохранять форму синусоиды, если $U_a\leq 1\ В$.

б) Пусть теперь $R=16\ Ом$. В этом случае неравенство для $U_{зи}$ примет вид $$-1\ В\leq U_{зи} \leq 0{,}25\ В,$$ следовательно, синусоидальность сигнала сохраняется при $U_a\leq 0{,}25\ В$.

Ответ: а) $U_a\leq 1\ В$; б) $U_a\leq 0{,}25\ В$.

2 ^?? Определите коэффициент усиления $K$, то есть отношение амплитуды напряжения на выходе усилителя к амплитуде напряжения на входе, если $R=5\ Ом$, и сигнал на выходе усилителя имеет синусоидальную форму.

Если синусоидальность выходного сигнала не нарушается, воспользуемся формулой $(*)$, где величина ${\cal E}-I_0R$ задаёт смещение средней линии синусоиды, а $I_0R/U_0$ является масштабным множителем, имеющим смысл искомого коэффициента усиления $K$. Вычислим его при $R=5\ Ом$:
$$K=\frac{I_0R}{U_0}=2{,}5.$$

Ответ: $K=2{,}5$.

3 ^?? Постройте график зависимости выходного напряжения $U$ от времени $t$, если $U_a=2\ В$ и $R=8\ Ом$. Отметьте на графике его основные особенности, укажите ключевые значения напряжений.

При $R=8\ Ом$ зависимость, заданная формулой $(*)$, будет иметь вид
$$U=6\ В - 4U_{зи}=6\ В-8\ В\cdot \sin\left(\frac{\pi t}{\tau}\right).$$ График этой функции (красный пунктир на рис. 2) — сдвинутая вдоль вертикальной оси синусоида, минимальное и максимальное значения напряжения для которой равны
$$U_{min}=6\ В - 4U_{а}=6\ В-4\cdot 2\ В=-2\ В, \qquad U_{max}=6\ В + 4U_{а}=6\ В+4\cdot 2\ В=14\ В.$$ Вблизи $t=0$ она является убывающей, в отличие от функции $U_{зи}(t)$. В реальности же, полученную кривую необходимо «обрезать» сверху и снизу: сверху — по линии $U={\cal E}=10\ В$, снизу — по линии $U=0$.
Получившаяся кривая (сплошная линия на рис. 2) и есть требуемый график.

Ответ:

Рис. 2

Ответ:

Характерные точки и особенности графика:

График является «обрезанной», смещённой вверх по оси ординат синусоидой;
$U(N\tau) = 6\ В$, где $N=0,\,\pm1,\,\pm2,...\, $;
Вблизи оси ординат (оси $U$) наклон кривой отрицательный;
Значения больше $10\ В$ и меньше $0\ В$ «обрезаны» горизонтальными линиями $U = 10\ В$ и $U = 0\ В$;
Горизонтальные участки симметричны относительно положения пиков исходной синусоиды (то есть точек с абсциссами $\pm\tau/2,\,\pm3\tau/2,…\,$);
Верхние горизонтальные участки длиннее нижних.

Усилитель

Решение