Определим объемы жидкостей и массу тела. Объем жидкости с плотностью $3\rho$ равен \[V_1 =4hS\] Объем жидкости с~плотностью $\rho$ равен \[V_2 =4h\cdot2S-hS=7hS\] Масса бруска равна \[m=2\rho hS\] Определим давление жидкостей вблизи дна в~левом и~правом сосудах до~открывания крана \[p_{лев} = p_0 +12 \rho gh\] \[p_{прав} = p_0 +4 \rho gh\] Здесь $p_0$ — атмосферное давление. Так как давление в сосуде больше, после открытия крана жидкость плотностью $3 \rho$ будет перетекать из левого сосуда в правый.
В нижней части правого сосуда будет увеличиваться слой жидкости, плотность которой больше плотности бруска, поэтому брусок начнет всплывать. Определим, при каком слое жидкости плотностью $3 \rho$ это произойдет. Высоту слоя обозначим $h_x$. В момент всплытия сила тяжести равна силе Архимеда, поэтому
\[2\rho ghS= F_{Арх}\] Далее в задаче следует найти высоту $h_x$, убедиться, что давления в левом и правом сосудах будут разными, перетекание жидкости с плотностью $3 \rho$ продолжится, определить высоту столбов жидкостей в сосудах, при которых перетекание прекратится. Сделать это можно различными способами, разберем некоторые из них.
Способ 1. Воспользуемся тем, что выталкивающая сила Архимеда численно равна весу однородной жидкости, имеющей объем тела и плотность равную средней плотности смеси жидкостей, в которых тело находится. То есть:
\[F_{Арх} = \rho_{cp} gSh\] Тогда:
\[\rho_{cp} =2\rho\] Определим, в каком отношении жидкости с плотностями $\rho$ и $3 \rho$ должны заполнить объем $Sh$, чтобы средняя плотность смеси была равна $2\rho$
\[2\rho= \frac{\rho(h-h_x )S+3\rho h_x S}{Sh} =\rho (1+2\frac{h_x}{h})\] \[h_x = \frac{h}{2}\] Этот результат можно было получить и более простым способом. Для того, чтобы жидкость в каком-то объёме имела среднюю плотность, равную среднему арифметическому двух несмешивающихся жидкостей ($2\rho$ это среднее арифметическое $\rho$ и $3\rho$), налитых в этот объем, жидкости нужно смешать в равных объёмах.
Теперь определим высоты столбов жидкостей в левом и правом сосудах в момент начала всплытия бруска.
Из левого колена в правое перешел объем жидкости с плотностью $3\rho$, равный $(2S-S) \cdot \frac{h}{2} =S \frac{h}{2}$, а так как площадь поперечного сечения левого колена $S$, то уровень в нём понизился на $\frac{h}{2}$ и стал равным $4h – \frac{h}{2}=3{,}5h$.
Высота столба жидкости с плотностью $\rho$ в правом колене — это $h' + \frac{h}{2}$.
Здесь $h’$ определяется из условия неизменности объёма жидкости $\rho$
\[7hS=2S h' +S \frac{h}{2}\] \[h' = \frac{13}{4}h\] Таким образом высота столба жидкости плотностью $\rho$ в правом колене равна $h' + \frac{h}{2} = \frac{15}{4} h$.
Далее высота столба жидкости с плотностью $\rho$ в правом колене меняться не будет.
Определим, чему равны давления вблизи дна левого и правого сосудов.
\[p'_{лев} = p_0 +3\rho g \frac{7}{2} h= p_0 + \frac{21}{2} \rho gh\] \[p'_{прав} = p_0 +\rho g \frac{15}{4} h+3\rho g \frac{h}{2} = p_0 + \frac{21}{4} \rho gh\] Так как давление в левом сосуде больше, перетекание продолжится.
Так как давления в момент прекращения перетекания должны быть одинаковы,
\[p_0 +3 \rho g(\frac{7}{2}h-2\Delta h) = p_0 +\rho g \frac{21}{4} h+3 \rho g \Delta h\] Отсюда находим $\Delta h$
\[\Delta h= \frac{7}{12} h\] Тогда уровень жидкости в левом колене равен
\[h_{лев} = \frac{7}{2} h-2\Delta h= \frac{7}{2} h- \frac{2 \cdot 7}{12} h= \frac{7}{3} h\] Определим высоту содержимого правого колене
\[h_{прав} = \frac{15}{4}h+ \frac{h}{2} +\Delta h= \frac{15}{4} h+ \frac{h}{2} + \frac{7}{12} h= \frac{29}{6} h\]
Способом, описанным в варианте 1, определим высоты столбов жидкостей в левом и правом сосудах в момент начала всплытия бруска и убедимся, что давление жидкости с плотностью $3\rho$ вблизи дна левого сосуда по-прежнему больше давления вблизи дна в правом сосуде.
Высоту столба жидкости в левом колене $h_{лев}$ к моменту окончания перетекания определим иначе, не прибегая к поиску $\Delta h$. Определим давление на дно в момент прекращения перетекания двумя способами (как давление жидкости $3 \rho $ слева, и через силу давления на дно, которая численно равна весу содержимого сосудов):
\[3 \rho g h_{лев} = \frac{3\rho \cdot 4hSg+2\rho hSg+\rho (4h \cdot 2S-hS)g}{3S} =7\rho gh\] Отсюда
\[h_{лев} = \frac{7}{3} h\] Определим высоту содержимого правого колене
\[h_{прав} = \frac{15}{4} h+ \frac{h}{2} +\Delta h= \frac{15}{4} h+ \frac{h}{2} + \frac{7}{12} h= \frac{29}{6} h\]