Определим массу шарика $m_ш$ и его объём $V_ш$: $m_ш = \frac{C_ш}{c} = 0{,}4 ~ кг; V_ш = \frac{m_ш}{\rho_ш} \approx 51 ~ мл$.
Будем считать, что при опускании первого шарика вода не выливается из сосуда. Проверим это предположение. Для этого запишем уравнение теплового баланса для опускания первого шарика, считая, что вся вода остаётся в сосуде
$$c_в m_0 (t_1 -t_0 ) + C_ш (t_1 -t_ш )=0$$ Выразим отсюда температуру $$t_1 = \frac{c_в m_0 t_0 +C_ш t_ш }{c_в m_0 +C_ш } = 35\,^\circ \mathrm{C}.$$ Полученный результат означает, что вода при опускании первого шарика из сосуда не выливается.
Проверим, не выливается ли вода при опускании второго шарика. Запишем уравнение теплового баланса в этом предположении, обозначив предполагаемую температуру после установления теплового равновесия $t_2^{'}$
$$c_в m_0 (t_2^{'} -t_1 ) + C_ш (t_2^{'} -t_1 ) + C_ш (t_2^{'} -t_ш )=0$$ Выразим отсюда предполагаемое значение температуры $$t_2^{'} = \frac{c_в m_0 t_1 +C_ш t_1 +C_ш t_ш }{c_в m_0 +2C_ш }=45{,}2\,^\circ \mathrm{C}$$ В условии задачи сказано, что после опускания второго шарика температура устанавливается $t_2 = 47\,^\circ \mathrm{C}$, следовательно, часть воды в этом случае выльется. Определим массу вылившейся воды $\Delta m$, для этого снова запишем уравнение теплового баланса
$$c_в (m_0 -\Delta m) (t_2 -t_1 ) + C_ш (t_2 -t_1 ) + C_ш (t_2 -t_ш ) =0$$ $$m_0 - \Delta m= \frac{C_ш (t_ш -t_2 )-C_ш (t_2 -t_1 )}{c_в (t_2 -t_1 )}=155 ~ г$$ Таким образом, при опускании второго шарика вылилось $\Delta m = 45 ~ г$ воды.
При опускании третьего шарика выльется объём воды равный объёму шарика, что соответствует массе 51 г, поэтому нагреваться будет масса воды, равная $m’ = 155 ~ г~ – 51 ~ г = 104 ~ г$. Запишем уравнение теплового баланса и выразим конечную температуру $t_3$
$$c_в m' (t_3 -t_2 ) + 2C_ш (t_3 -t_2 ) + C_ш (t_3 -t_ш ) =0$$ $$t_3 = \frac{c_в t_2 m' +2C_ш t_2 +C_ш t_1}{m' c_в +3C_ш} =57 \,^\circ \mathrm{C}$$