Экспериментально установлено, что при относительном движении магнита и проводящего контура в нём возбуждается ток. Этот ток называется индукционным током, а само явление – электромагнитной индукцией.
Возникновение электрического тока при движении проводника в магнитном поле объясняется действием силы Лоренца. Рассмотрим пример:
Сила Лоренца $\vec F_{\text{Л}}$ в описанном примере играет роль сторонней силы, возбуждающей электрический ток. Таким образом, сторонние силы в виде силы Лоренца становятся причиной возникновения электродвижущей силы индукции $\mathcal{E}_{\text {ind}}$ (сокращённо ЭДС индукции) .
В рассмотренном примере $\mathcal{E}_{\text {ind}}=-vB l$, где $l$ – расстояние между рельсами, $l v$ – скорость увеличения площади контура, образованного рельсами, перемычкой и стержнем. Поэтому $v B l=\dot\Phi$, где $\dot\Phi$ – скорость изменения магнитного потока, пронизывающего поверхность, стягивающую данный контур. Таким образом:
\[\mathcal{E}_{\text {ind}}=-\frac{d \Phi}{d t}=-\dot\Phi \]Данная формула выражает закон электромагнитной индукции Фарадея. Она показывает, что при движении замкнутого контура в магнитном поле в нём возбуждается электродвижущая сила, пропорциональная скорости приращения магнитного потока, пронизывающего контур. Знак минус в данном законе соответствует правилу Ленца. Оно гласит, что ЭДС индукции создаёт в замкнутом контуре индукционный ток такого направления, что созданное им магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызывающему этот ток. Этот результат справедлив и для неперпендикулярного поля, поскольку компонента магнитного поля, параллельная плоскости рельс, не создаёт магнитного потока через контур и не создаёт ток.
Формула $\mathcal{E}_{\text {ind}}=-\dot\Phi $ справедлива для любого замкнутого контура, движущегося произвольным образом в произвольном постоянном магнитном поле. Показать это можно, мысленно разбив провод на бесконечно малые участки и рассмотрев движение каждого из них. При бесконечно малом перемещении каждого из таких участков магнитное поле, в котором он движется, можно считать однородным. Поэтому электродвижущая сила, действующая между концами участка, может быть представлена этим выражением. Путём суммирования получится формула того же вида, в которой, однако, под $\mathcal{E}_{\text{in}}$ следует понимать полную электродвижущую силу, действующую в замкнутом проводе, а под $\dot\Phi$ – скорость изменения магнитного потока через любую поверхность, натянутую на контур провода.
Индукционные токи могут возникать и в неподвижных проводниках. Возьмём проводящий контур и постоянный магнит. Будем двигать магнит поступательно и равномерно относительно лабораторной системы отсчёта, а контур зафиксируем. Тогда перейдём в инерциальную систему отсчёта, связанную с магнитом. На заряды в контуре будет действовать сила Лоренца, возбуждающая индукционный ток. Но полная сила, действующая со стороны электромагнитного поля $\vec F=q\left(\vec E+\left[\vec v\times\vec B\right]\right)$, не зависит от системы отсчёта, а в лабораторной системе отсчёта на заряды не будет действовать сила со стороны магнитного поля. То есть на них будет действовать электрическое поле, направленное вдоль проводника.
Аналогичный результат получается при помещении контура в переменное магнитное поле, поскольку для контура неразличим случай переменного магнитного поля и изменения магнитного поля путём движения магнита. Таким образом, всякий раз, когда меняется магнитный поток, пронизывающий контур неподвижного или движущегося замкнутого провода, в проводе возникает индукционный ток, причём во всех случаях электродвижущая сила индукции определяется формулой $\mathcal{E}_{\text{in}}=-\dot\Phi$.
Из полученных результатов следует общий закон для электрического поля, связанного с изменяющимся магнитным полем: всякое изменение магнитного поля $\vec B$ порождает вихревое электрическое поле с напряжённостью $\vec E_{\text{вихр}}$. Это можно записать в виде:
\[\oint\left(\vec E_{\text{вихр}}\cdot d\vec l\right)=-\frac{d}{dt}\oint\left(\vec B\cdot d\vec S\right)\]Записывая в дифференциальном виде для поля $\vec E$:
\[\left[\vec\nabla\times\vec E\right]=\operatorname{rot}\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}\]
Рассмотрим длинный соленоид с $N$ витками, длины $l$ и площадью поперечного сечения $S$. Будем медленно менять текущий через него ток $I$. Тогда поле внутри соленоида:
\[B_{\text{in}}=\mu_0 I\frac Nl\\
\dot B_{\text{in}}=\mu_0 \dot I\frac Nl\]Тогда ЭДС индукции в одном витке:
\[\mathcal{E}_{\text{ind 1}}=-S\mu_0\dot I\frac Nl\]Суммарное ЭДС для соленоида:
\[\mathcal{E}_{\text{ind}}=-\frac{\mu_0SN^2}{l}\dot I=-L\dot I,\]где $L$ – величина, называемая индуктивностью соленоида.
Индуктивность (называемая также коэффициентом самоиндукции) определяется как отношение полного магнитного потока через контур (созданного током через контур) к току, текущему через этот контур: \[L=\frac{\Phi}{I}\]Индуктивность в системе СИ измеряется в Генри:
\[[L]=\frac{\text{Тл}\cdot\text{м}^2}{\text{А}}=\text{Гн}\]ЭДС самоиндукции в контуре с индуктивностью $L$:\[\mathcal{E}_{\text{ind}}=-L\dot I\]
Из полученных ранее результатов следует, что напряжение на элементе с индуктивностью $L$, через который течёт ток $I$, будет равно $U=L\dot I$. В цепях переменного тока таким элементом является катушка индуктивности.
Найдём энергию $E$, запасённую в элементе с индуктивностью $L$ (пренебрегая его омическим сопротивлением):
Подключим к такому элементу источник питания с ЭДС равной $\mathcal{E}=L\dot I=-\mathcal{E}_{\text{ind}}$. Тогда мощность этого источника:
\[P=\mathcal{E}I=LI\dot I\]Тогда поскольку теплопотерь в системе нет, работа источника равна энергии, запасённой в контуре. Получаем формулу для энергии:
\[A=\int_0^t Pdt=\int_0^t LI\dot I dt=\frac{LI^2}{2}\\
W_L=\frac{LI^2}{2}\]
Запишем правило Кирхгофа для цепи, состоящей из резистора и катушки:
\[L\dot I+IR=0\\
\frac{dI}{I}=-\frac RLdt\]Интегрируя и поставляя начальное условие для тока, получаем:
\[I=I_0e^{-\frac RL t}\]
\[\omega^2=\frac{\frac{1}{2C}}{\frac{L}{2}}=\frac{1}{LC}\\
\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\]
\[B(y)=\frac{\mu_0I}{2\pi(l-y)}+\frac{\mu_0I}{2\pi(l+y)}\]Тогда поток вектора магнитной индукции через провод равен:
\[\Phi= \frac{\mu_0I}{2\pi}\int\limits_{-l+r}^{l-r}\left(\frac{1}{l-y}+\frac{1}{l+y}\right)ady=\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\left(\ln\frac{2l-r}{r}+\ln\frac{2l-r}{r}\right)\\
L=\frac{\mu_0a}{\pi}\ln\frac{2l-r}{r}\]Также можно получить удельную индуктивность двупроводной линии:
\[\frac La=\frac{\mu_0}{\pi}\ln\frac{2l-r}{r}\]
Рассмотри два контура с коэффициентами самоиндукции равными $L_1$ и $L_2$. Тогда магнитное поле, создаваемое первым контуром при протекании через него тока $I_1$, создаст поток вектора магнитной индукции через второй контур. Это явление называется взаимной индукцией:
\[\Phi_{1\rightarrow2}=L_{12}I_1\]Аналогично при протекании через второй контур тока $I_2$ появляется поток вектора магнитной индукции через первый контур:
\[\Phi_{2\rightarrow1}=L_{21}I_2,\]где $L_{12}$ и $L_{21}$ – коэффициенты взаимной индукции контуров. Их знаки зависят от выбора направления обхода контуров.
Найдём энергию взаимодействия контуров. Для этого рассмотрим две ситуации, происходящие с теми же контурами, что и выше:
1. Пусть через контура изначально не течёт ток. Начнём разгонять ток $I_1$ в первом контуре, сохраняя ток равным нулю во втором с помощью внешнего ЭДС. Тогда энергия первого контура равна $E_1=\frac{L_1I_1^2}{2}$, а второго равна нулю. Далее будем разгонять ток $I_2$ во втором контуре, сохраняя ток $I_1$ постоянным. Тогда внешние ЭДС, требуемые для этого, равны:
\begin{cases}\mathcal{E}_1=L_{21}\dot I_2\\
\mathcal{E}_2=L_2\dot I_2\end{cases}Тогда суммарная мощность внешних ЭДС:
\[P=L_{21}\dot I_2I_1+L_2\dot I_2I_2\\
E_2=L_{21}I_2I_1+\frac{L_2I_2^2}{2}\]То есть суммарная энергия контуров:
\[E=\frac{L_1I_1^2}{2}+\frac{L_2I_2^2}{2}+L_{21}I_1I_2\]2. Проделаем аналогичные действия, но поменяв порядок использования контуров местами. Тогда полная энергия системы:
\[E'=\frac{L_2I_2^2}{2}+\frac{L_1I_1^2}{2}+L_{12}I_1I_2\]Можно заметить, что полученные энергии равны:
\[E=E'\\
\frac{L_2I_2^2}{2}+\frac{L_1I_1^2}{2}+L_{12}I_1I_2=\frac{L_1I_1^2}{2}+\frac{L_2I_2^2}{2}+L_{21}I_1I_2\\
L_{12}=L_{21}\]Данное утверждение называется теоремой о равенстве коэффициентов взаимной индукции (или теоремой о взаимности).
Полная энергия $E$ магнитного поля системы из $N$ контуров с токами вычисляется по формуле:
\[E=\sum_{i,j=1}^{N}\frac{L_{ij}I_iI_j}{2},\]где $L_{ii}=L_{i}$ – коэффициент самоиндукции $i$-ого контура, $L_{ij}$ – коэффициент взаимной индукции $i$-ого и $j$-ого контуров, $I_i$ – ток в $i$-ом контуре.
Найти коэффициент взаимной индукции $M$ соленоида с плотностью намотки $n$ и кольца радиуса $r$, расположенного по центру торца соленоида.
Магнитный поток через кольцо:
\[\Phi =\pi r^2\frac{B_0}{2},\]где $B_0$ – поле в центре соленоида.
\[\Phi=\frac{\mu_0nI}{2}\pi r^2\\
M=\frac{\mu_0\pi r^2 n}{2}\]
Найти коэффициент взаимной индукции $M$ витка с током $I_1$ площадью $S_1$ и витка с током $I_2$ площадью $S_2$ в зависимости от расстояния между ними, считая витки малыми и зная ориентацию витков в пространстве.
Введём $\vec n_i$ – единичный вектор нормали к плоскости $i$-ого витка. При направление вектора нормали определяется правилом правой руки для витка и тока в нём. Поле $i$-ого витка:
\[\vec B_i=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{3\left(\vec m_i\cdot\vec r\right)\vec r}{r^5}-\frac{\vec m_i}{r^3}\right),\]где $\vec m_i$ – магнитный момент $i$-ого витка, $\vec r$ – радиус-вектор точки, в которой рассчитывается поле.
\[\vec m_i=I_iS_i\vec n_i\\
\vec S_i=S_i\vec n_i\\
\Phi_{1\rightarrow2}=\vec B_1\cdot\vec S_2=\frac{\mu_0I_1S_1S_2}{4\pi}\left(\frac{3\left(\vec n_1\cdot\vec r\right)\left(\vec n_2\cdot\vec r\right)}{r^5}-\frac{\left(\vec n_1\cdot\vec n_2\right)}{r^3}\right)\\
M=\frac{\mu_0S_1S_2}{4\pi}\left(\frac{3\left(\vec n_1\cdot\vec r\right)\left(\vec n_2\cdot\vec r\right)}{r^5}-\frac{\left(\vec n_1\cdot\vec n_2\right)}{r^3}\right)\]
Рассмотрим случай $\vec n_1\uparrow\uparrow\vec n_2$, $\vec n_1\perp\vec r$:
\[M=-\frac{\mu_0S_1S_2}{4\pi r^3}\]Приложим силу $\vec F$ к первому витку по направлению ко второму. Тогда из закона сохранения энергии:
\[-F\dot r=-\dot MI_1I_2,\]где $r$ – расстояние между витками.
\[F\dot r=\dot MI_1I_2=\frac{dM}{dr}\dot rI_1I_2\\
F=\frac{3\mu_0S_1S_2}{4\pi r^4}I_1I_2\\
\dot M=\left(\vec\nabla M\cdot\dot r\right)=\operatorname{grad}M\cdot\dot r\\
\vec F=\left(\vec m_2,\vec\nabla,\vec B_1\right)\\
F=m_2\frac{\partial B_1}{\partial y},\]где $y$ – координатная ось, направленная перпендикулярно плоскостям витков.
\[\frac{\partial B_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(3\left(\vec m_1\cdot\vec r\right)\frac{\vec r}{r^5}\right)=3\frac{\vec r}{r^5}\frac{\partial}{\partial y} \left(\vec m_1\cdot\vec r\right)+3\left(\vec m_1\cdot\vec r\right)\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\vec r}{r^5}\right)\\
\vec r\perp y\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\vec r}{r^5}\right)=0\\
\vec F=3\frac{\vec r}{r^5}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\vec m_1\cdot\vec r\right)\right)m_2\\
\vec m_1\cdot\vec r=m_1 (y+y_0)\\
\vec F=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3m_1m_2}{r^5}\vec r,\]где $\vec r$ – радиус-вектор первого витка относительно второго.
1. Случай «идеального» стержня:
\[\mathcal{E}_{\text{in}}=-Bvl=-\mathcal{E}\\
v=\frac{\mathcal{E}}{Bl}\]
2. Случай «реального» стержня:
\[\mathcal{E}=B\dot xl+IR\\
I=\frac{\mathcal{E}-B\dot xl}{R}\\
m\ddot x=IlB\\
m\dot v=\frac{\mathcal{E}-Bv}{R}Bl\\
dv=\left(\frac{\mathcal{E}}{Bl}-v\right)\frac{(Bl)^2}{mR}dt\]Введём обозначение $v_0=\frac{\mathcal{E}}{Bl}$.
\[\frac{dv}{v_0-v}=\frac{(Bl)^2}{mR}dt\\
\frac{v_0-v}{v_0}=\exp\left({-\frac{(Bl)^2}{mR}t}\right)\\
v=v_0\left(1-\exp\left({-\frac{(Bl)^2}{mR}t}\right)\right)=v_0\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\]где $\tau=\frac{mR}{(Bl)^2}$ – характерное время системы.
\[I=\frac{vlB}{R}\]Из-за текущего тока на перемычку будет действовать сила Ампера $F_A=BIl$. Тогда по 2-ому закону Ньютона для перемычки:
\[m\dot v=mg-\frac{v(Bl)^2}{R}\]Мощность силы тяжести:
\[P_{\text{мех}}=mgv\]Мощность тепловыделения системы:
\[P_{\text{тепл}}=-I^2R=-\left(\frac{Blv}{R}\right)^2R\]Суммарная мощность:
\[P=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv^2}{2}\right)=mv\dot v=mgv-\left(\frac{Blv}{R}\right)^2R\\
\dot v=g-\frac{(Bl)^2}{mR}v=g-\frac{v}{\tau}\\
u=v-g\tau\\
\dot u=-\frac{u}{\tau}\\
u=u_0e^{-\frac{t}{\tau}}\\
v=g\tau\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\]
Плоский проводящий виток с сопротивлением $R$ и площадью $S$ движется со скоростью $\vec v$ в магнитном поле $\vec B$, перпендикулярном плоскости витка. Найдите силу, действующую на виток.
Направим ось $x$ вдоль вектора $\vec v$, а ось $z$ вдоль вектора $\vec B$.
\[I=\frac{\dot \Phi}{R}\\
\Phi=\oint BdS\\
\dot\Phi=\frac{\partial B}{\partial x}vS\\
\vec F\cdot\vec v=I^2R\\
F=\frac{\dot\Phi^2}{Rv}=\left(\frac{\partial B}{\partial x}S\right)^2\frac vR\\
P=Fv=\frac{\left(\frac{\partial B}{\partial x}Sv\right)^2}{R}\]
На торце полубесконечного соленоида радиуса $\rho$ с плотностью намотки $n$ закреплено маленькое кольцо радиуса $r$, индуктивностью $L$ и сопротивлением $R$. Через кольцо пропускают переменный ток $I=\tilde{I_0}e^{i\omega t}$. Найдите среднюю силу, действующую на кольцо.
\[B=\frac{\mu_0nI_0\cos\omega t}{2}\\
RI+L\dot I=-\dot\Phi=-\dot B\pi r^2=\frac{\mu_0nI_0\pi r^2}{2}\sin\omega t\]Ток в витке будет равен:
\[\tilde{ I_{\text{в}}}=\tilde{I_{\text{в}0}}e^{i\omega t}=I_{\text{в}0}e^{i\varphi}e^{i\omega t}\]Импеданс кольца:
\[Z=|Z|e^{i\varphi}\\
R\tilde{ I_{\text{в}0}}e^{i\omega t}+Li\omega \tilde{ I_{\text{в}0}}e^{i\omega t}=-\frac{\mu_0n\tilde{I_0}}{2}\pi r^2i\omega e^{i\omega t}\\
\tilde{ I_{\text{в}0}}(R+i\omega L)=-\frac{\mu_0n\tilde{I_0}\pi r^2}{2}i\omega\\
\tilde{ I_{\text{в}0}}=-\frac{\mu_0n\tilde{I_0}\pi r^2}{2}\frac{i\omega}{R+i\omega L}\\
\tilde{ I_{\text{в}}}=-\frac{\mu_0n\tilde{I_0}\pi r^2}{2}\frac{\omega}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}e^{i\omega t}e^{i\varphi}\\
\frac{i\omega}{R+i\omega L}=\frac{1}{\left(1+\frac{R}{i\omega L}L\right)}=\frac{1}{\left(1-i\frac{R}{\omega L}\right)L}\\
\operatorname{tg}\varphi=\frac{R}{\omega L}\]Направим ось $z$ вдоль оси соленоида. По теореме Гаусса для цилиндра радиуса $r$ и высотой $dz$ найдём радиальную компоненту поля $B_r$, действующего на кольцо:
\[2\pi rdzB_{r}+\pi r^2\left(B_z(z+dz)-B_z(z)\right)=0\\
B_r=-\frac{r}{2}\frac{\partial B_z}{\partial z}\]Найдем $dB_z$, мысленно убрав тонкое кольцо с током из торца соленоида. Поле кольца $dB_{\text{к}}:$
\[dB_{\text{к}}=\frac{\mu_0Indz}{2\rho}=-dB_z\\
\frac{\partial B_z}{\partial z}=-\frac{\mu_0 In}{2\rho}\\
B_r=\frac{\mu_0Inr}{4R}\\
B_z=\frac{\mu_0nI_0\cos\omega t}{2}\\
B_r=\frac{\mu_0nrI_0\cos\omega t}{4\rho}\\
F_z=-\tilde{ I_{\text{в}}}B_r\cdot 2\pi r\\
F_z=\pi r\frac{\pi \mu_0^2n^2r^3I_0^2}{4\rho}\cos\omega t\cdot\frac{\omega}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}\cos(\omega t+\varphi)\\
\langle\cos(\omega t)\cos(\omega t+\varphi)\rangle=\langle\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{4}\left(e^{i(\omega t+\varphi)}+e^{-i(\omega t+\varphi)}\right)\rangle=\langle\frac{\cos(2\omega t+\varphi)}{2}+\frac{\cos\varphi}{2}\rangle=\frac{\cos\varphi}{2}\\
\langle F_z\rangle=\frac{\pi^2r^4\mu_0^2n^2I_0^2}{8\rho}\frac{\omega\cos\varphi}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}\]Если $R=0$:
\[\langle F_z\rangle=\frac{\pi^2r^4\mu_0^2n^2I_0^2}{8\rho L}\]Для сверхпроводящего кольца с током $I$ верно:
\[L\dot I+\dot\Phi=0\\
LI+\Phi=const\]