Рассмотрим тяжёлое круглое горизонтальное кольцо, по диаметру которого протянута жёсткая проволока длиной $10a$. На проволоку посередине нанизан шарик массой $4m$, а по обе стороны от него – ещё два шарика массой $3m$. Они соединены с центральным шариком пружинами нулевой длины с коэффициентом жёсткости $k$, а с ближайшими точками кольца – пружинами с коэффициентом жёсткости $k$ и длиной $4a$ в нерастянутом состоянии. Шарики могут скользить по проволоке без трения. Система вращается вокруг оси симметрии кольца с угловой скоростью $\Omega$.

При решении задачи удобно использовать частоту $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ и безразмерный параметр $p = 12 \Omega^2/\omega_0^2$.

1 Найдите положения равновесия шариков (если смотреть во вращающейся системе отсчёта).

2 Определите моды колебаний системы и частоты этих колебаний. Какая максимальная амплитуда может быть у каждой из этих мод?

Исследуем теперь устойчивость положений равновесия системы в зависимости от параметра $p$.

3 Есть ли у системы моды с нулевой частотой и асимметричные стационарные состояния?

Рассмотрим теперь систему при значении параметра $p = 23/12$. В период времени $t < 0$ система вращается с угловой скоростью $\Omega$, и шарики колеблются с наименьшей частотой. В момент времени $t = 0$ шарики проходят положения равновесия, и в этот момент средний шарик резко останавливают и сразу же отпускают.

4 Определите зависимость координаты каждого шарика от времени при $t > 0$.

Вернётся ли система в исходное состояние (в котором она была в момент времени $t = 0$)? Через какое наименьшее время это произойдёт?