Соберем установку, изображенную на рисунке 1. Для этого закрепим весы в вертикальном положении в лапке штатива. Прикрепим к платформе весов крышку весов, как описано в условии. Установим под крышкой стакан с водой так, чтобы вода с крышки стекала в стакан. Наберем в шприц воду и будем давить на поршень шприца так, чтобы струя воды сталкивалась с перпендикулярной ей крышкой весов. Нижний край крышки опущен в воду для того, чтобы после столкновения струи воды с крышкой мы могли считать импульс воды на горизонтальную ось равным нулю.
По показаниям весов $m^*$ можно судить о силе давлении струи на крышку весов. При должной сноровке можно создавать струю практически постоянной скорости, ориентируясь на показания весов. Проведем измерение зависимости времени $t$ выдавливания из шприца объема $V=(20.0\pm0.5) ~мл$ от показаний весов $m^*$. Для каждого значения показаний весов проведем три измерения с последующим усреднением. Видно, что по результатам измерений можно оценить погрешность измерения среднего времени $\sigma_t$ приблизительно в $1~с$, то есть можно утверждать, что опыт имеет хорошую повторяемость. Погрешность измерения показаний весов при малых скоростях струи оценим приблизительно в $10\%$.
$m^*,~г$ $t_1,~с$ $t_2,~с$ $t_3,~с$ $t,~с$ $t^{-2}, 10^{-3}~с^{-2}$ $\sigma_{t^{-2}},10^{-3}~с^{-2}$ 0.14 38.90 38.40 38.80 38.70 0.7 0.01 0.40 23.40 22.00 23.00 22.80 1.9 0.09 0.50 21.10 19.80 21.00 20.63 2.3 0.13 0.70 17.45 17.43 17.90 17.59 3.2 0.08 1.00 14.50 13.51 14.10 14.04 5.1 0.25 1.20 12.80 13.00 13.40 13.07 5.9 0.20 1.50 11.50 11.50 11.13 11.38 7.7 0.22 2.20 9.58 9.28 9.50 9.45 11.2 0.27
При столкновении струи площади поперечного сечения $s$ с неподвижной крышкой весов возникает сила $F$, останавливающая струю. За некоторый промежуток времени $\Delta t$ импульс этой силы $F \Delta t$ останавливает массу воды $\Delta m = \rho v \Delta t s$ со скорости $v$ до нулевой скорости. Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона в импульсной форме имеем:
$$ F \Delta t = \Delta m v = \rho v \Delta t s v,$$ где $\rho$ – плотность воды.
Сокращая промежуток времени в двух частях уравнения получаем выражение для силы давления струи на платформу весов:
$$ F= \rho s v^2.$$ Сила давления на платформу весов связана с их показаниями как:
$$ F=m^*g.$$ Площадь сечения струи будем считать равной площади внутреннего сечения иглы:
$$ s=\pi \frac{d^2}{4}.$$ Строго говоря, это утверждение требует отдельной проверки, но, за неимением лучшего, будем считать это утверждение верным.
Скорость потока в струе связана с объемным расходом воды в шприце:
$$ vs=\frac{V}{t}.$$ Окончательно для связи показаний весов со временем истечения жидкости из шприца имеем:
$$ m^*g=\rho \frac{4 V^2}{t^2 \pi d^2}.$$ То есть график зависимости $\frac{1}{t^2}(m^*)$ обратного квадрата времени истечения от показаний весов должен описываться прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом:
$$ k=\frac{g\pi d^2}{4\rho V^2}.$$ Рассчитаем в таблице величины обратных квадратов усредненных времен истечения жидкости и построим соответствующий график. Погрешность обратных квадратов времен будем оценивать как:
$$ \sigma_{\frac{1}{t^2}}=\frac{1}{t^2}\frac{2\sigma_t}{t}.$$
Видно, что точки хорошо описываются прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом $k=(5.15\pm0.3)\ (с^2 кг)^{-1}$.
Тогда расчетное значение диаметра составит:
Оценим погрешность результата измерений как:
$$ \sigma_d=d\left(\frac{\sigma_k}{2k}+\frac{\sigma_V}{V}\right). $$