Определите период малых колебаний спицы, если при переходе спицы с одного ребра на другое потери энергии пренебрежимо малы, а спица от подставки не отрывается и не проскальзывает.

Рассмотрим вращение спицы вокруг левого края подставки. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий шариков:
$$
K=\frac{m}{2}\left(\frac{L-l}{2}\right)^{2} \dot{\varphi}^{2}+\frac{m}{2}\left(\frac{L+l}{2}\right)^{2} \dot{\varphi}^{2}=\frac{m\left(L^{2}+l^{2}\right)}{4} \dot{\varphi}^{2} \approx \frac{m L^{2}}{4} \dot{\varphi}^{2}.
$$
Потенциальная энергия системы:
$$
\Pi=-m g\left(\frac{L-l}{2}\right) \varphi+m g\left(\frac{L+l}{2}\right) \varphi=m g l \varphi .
$$
Механическая энергия системы сохраняется, поэтому
$$
\dot{K}+\dot{\Pi}=\frac{m L^{2}}{2} \ddot{\varphi} \dot{\varphi}+m g l \dot{\varphi}=0.
$$
Сократив это уравнение на $\dot{\varphi}$ (решение $\dot{\varphi}=0$ нас не интересует), получим уравнение равноускоренного движения:
$$
\ddot{\varphi}=-\frac{2 g l}{L^{2}}.
$$
Время $\tau$, за которое спица вернётся в горизонтальное положение, найдём из условия:
$$
\frac{\ddot{\varphi} \tau^{2}}{2}=-\varphi_{0}, \quad \text { откуда, } \quad \tau=\sqrt{\frac{\varphi_{0}}{g l}} L .
$$
После того, как спица вернётся в горизонтальное положение, она начнёт движение относительно правого угла подставки, затем снова относительно левого и так далее. Период такого движения
$$
T=4 \tau=4 L \sqrt{\frac{\varphi_{0}}{g l}}.
$$