1  ^?? Силу и направление тока в отрезке $A B$.

Через достаточно большое время конденсатор зарядится, так что ток через него течь не будет, и токи во всей цепи установятся. Предположим, что токи текут так, как показано на рисунке (см. рисунок).

Запишем закон Кирхгофа для контуров:
$$
\begin{array}{ll}
A F E B: & \mathscr{E}_{A F E B}=5 I_{1} r+3 I_{2} r,
\\
A G D B: & \mathscr{E}_{A G D B}=5 I_{1} r+I_{3} r,
\end{array}
$$
и первый закон Кирхгофа для точки $D$ :
$$
I_{1}=I_{2}+I_{3}.
$$
Из закона электромагнитной индукции Фарадея:
$$
\mathscr{E}_{A F E B}=\frac{d\left(B \cdot 3 a^{2}\right)}{d t}=3 k a^{2}, \quad \mathscr{E}_{A G D B}=2 k a^{2}.
$$
Обозначим $\frac{k a^{2}}{r}=I_{0} $. Тогда, решая систему уравнений, приведенных выше, получим
$$
I_{1}=\frac{9}{23} I_{0}, \quad I_{2}=\frac{8}{23} I_{0}, \quad I_{3}=\frac{1}{23} I_{0} .
$$
Отсюда и из условия $k>0$ получаем, что ток $I_{1}$ на участке $A B$ течёт от $B$ к $A$.

2  ^?? Заряд $Q$ на конденсаторе и знак зарядов на обкладках.

Рассмотрим контур $A H C B$.
$$
I_{0} r=k a^{2}=\mathscr{E}_{A H C B}=I_{1} \cdot 3 r+U_{C},
$$
здесь $U_{C}$ - напряжение между верхней и нижней обкладками конденсатора. Следовательно:
$$
U_{C}=-\frac{4}{23} k a^{2}, \quad \text { откуда } \quad Q=\frac{4}{23} C k a^{2},
$$
при этом заряд верхней обкладки отрицательный, нижней - положительный.

3  ^?? Количество теплоты $W$, выделяющееся в цепи за время $\tau$.

Тепловая мощность в цепи равна сумме мощностей на всех проводниках:
$$
N=5 I_{1}^{2} r+3 I_{2}^{2} r+I_{3}^{2} r=\frac{26}{23} \frac{k^{2} a^{4}}{r}, \quad$ откуда $\quad W=N \tau=\frac{26}{23} \frac{k^{2} a^{4}}{r} \tau.
$$