Точечный заряд $q$ помещён между двумя параллельными заземлёнными проводящими пластинами. Расстояние между пластинами равно $d$, расстояние между зарядом и нижней пластиной – $a$, между зарядом и верхней пластиной – $b$.

1 Попробуем найти распределение полей с помощью метода изображений. При этом у каждого изображения будет возникать вторичное изображение в противоположной пластине. Покажите, что это приводит к бесконечному набору зарядов-изображений и найдите их положения.

2 Покажите, что суммарный заряд на каждой из пластин при этом будет задаваться расходящейся суммой. Таким образом, найти распределение зарядов таким методов нельзя.

Рассмотрим теперь точечный заряд $q$, расположенный на расстоянии $R_0$ от центра двух заземлённых концентрических сфер радиусами $R_1$ и $R_2$.

3 Покажите, что в такой системе также возникает бесконечный набор зарядов-изображений. Обозначим величину и расстояние от центра $n$-ного изображения в малой сфере как $q_n$ и $b_n$ соответственно, а величину и расстояние от центра $n$-ного изображения в большой сфере – как $q'_n$ и $b'_n$ соответственно. Покажите, что для этих величин выполняются следующие рекуррентные соотношения:\begin{aligned}
& q_{n+1}=-\frac{R_{1}}{b_{n}^{\prime}} q_{n}^{\prime}, &\quad& q_{n+1}^{\prime}=-\frac{R_{2}}{b_{n}} q_{n} \\
& b_{n+1}=\frac{R_{1}^{2}}{b_{n}^{\prime}}, &\quad& b_{n+1}^{\prime}=\frac{R_{2}^{2}}{b_{n}}
\end{aligned}

4 Покажите, что полученные в пункте 3 уравнения можно привести к виду:\begin{gathered}
q_{n+1}-q_{n-1}\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)=0 \\
b_{n+1}-b_{n-1}\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{2}=0
\end{gathered}

5 Попробуем искать решения в виде$$ q_{n}=A \lambda^{n}, \quad b_{n}=B \alpha^{n} $$Найдите значения $\lambda$ и $\alpha$, которые удовлетворяют уравнениям из 4.

6 Явно вычислите величины и положения зарядов-изображений в малой сфере при $n=1,2$. Отсюда найдите $q_{n}$ и $b_{n}$, представив их как линейную комбинацию решений, полученных в 5.

7 Найдите полный заряд, индуцируемый на малой сфере.

Подсказка: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a^{n}=a /(1-a)$ при $a < 1$.

8 Используя результат пункта 6 и уравнения из пункта 3, найдите $q_{n}^{\prime}$ и $b_{n}^{\prime}$.

9 Покажите, что сумма $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} q_{n}^{\prime}$ сходится. Таким образом, можно найти заряд, индуцированный на большой сфере.

10 Найдите заряд, индуцированный на большой сфере. Почему суммарный заряд, индуцированный на обеих сферах, равен $-q$?

11 Рассмотрим вырожденный случай, когда радиусы сфер стремятся к бесконечности так, что выполняются соотношения$$ d=R_{2}-R_{1}, \quad a=R_{2}-R_{0}, \quad b=R_{0}-R_{1} $$ Это позволяет решить исходную задачу. Найдите заряд, индуцированный на каждой из пластин, рассматриваемых в пунктах 1 и 2.