Точечный заряд $Q$ расположен на расстоянии $D$ над бесконечной заземлённой проводящей плоскостью. Непосредственно под ним на плоскости лежит проводящая сфера радиусом $R$.

1 Найдите положение и величину первичных (создаваемых только исходным зарядом) зарядов-изображений, возникающих в сфере и плоскости.

2 Заряд-изображение в сфере создаёт вторичное изображение в плоскости, и наоборот. Покажите, что для возникающего в результате этого в сфере набора зарядов-изображений имеют место рекуррентные соотношения:$$
q_{n+1}=\frac{q_{n} R}{2 R-b_{n}}, \quad b_{n+1}=\frac{R^{2}}{2 R-b_{n}}
$$

3 Исключив из уравнений $b_n$, получите замкнутое уравнение на величины зарядов:$$ \frac{1}{q_{n+1}}-\frac{2}{q_{n}}+\frac{1}{q_{n-1}}=0 $$Попробуем искать решение в виде$$ P_{n}=1 / q_{n}=A \lambda^{n} $$Найдите значения $\lambda$, удовлетворяющие уравнению выше.

Подсказка: Если в результате подстановки корень $\lambda$ имеет двойную кратность, решение нужно искать в виде $P_{n}=\left(A_{1}+A_{2} n\right) \lambda^{n}$.

4 Найдите положение и величину всех зарядов-изображений, индуцированных в сфере и плоскости.

5 Суммарный заряд, индуцированный на сфере, можно записать в виде бесконечной суммы$$
q_{T}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{A}{1-a n^{2}}
$$Найдите $A$ и $a$.

6 Попробуем решить альтернативную задачу, где вместо поля точечного заряда система помещена во внешнее электрическое поле $\vec{E}=-E_{0}\hat z$. Ответ можно получить из решения исходной задачи, устремив $Q,D\to \infty$ так, чтобы сохранялось отношение $Q/D^2$. При каком $Q/D^2$ предельный переход приведёт к постоянному внешнему полю $-E_{0}\hat z$?

7 Найдите заряд, индуцируемый при этом на сфере.

Подсказка:$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\pi^{2} / 6.$$