Рассмотрим проводящую сферу радиусом $R$ и потенциалом $V=V_{0}$, центр которой расположен на расстоянии ${D}$ от бесконечной заземлённой проводящей плоскости.

1 Покажите, что в этой системе возникает бесконечный набор зарядов-изображений, для которых имеют место рекуррентные соотношения:$$
q_{n}=\frac{q_{n-1} R}{2 D-b_{n-1}}, \quad b_{n}=\frac{R^{2}}{2 D-b_{n-1}}
$$Найдите явно $q_{1}$ и $q_{2}$.

2 Получите замкнутое уравнение на величины зарядов в виде$$
\frac{1}{q_{n-1}}-\frac{c}{q_{n}}+\frac{1}{q_{n+1}}=0
$$Найдите $c$.

3 Будем искать решение уравнения из пункта 2 в виде$$ P_{n}=1 / q_{n}=A \lambda^{n} $$Найдите $\lambda$, которое ему удовлетворяет.

Подсказка:$$ c / 2+\sqrt{(c / 2)^{2}-1}=\frac{1}{c / 2-\sqrt{(c / 2)^{2}-1}} $$

4 Найдите положения всех зарядов-изображений. К чему стремится положение изображения при $n \rightarrow \infty$?

5 Покажите, что ёмкость (отношение индуцированного на сфере заряда к её потенциалу $V_{0}$) имеет вид$$
C=C_{0}\left(\lambda^{2}-1\right)\left(\frac{1}{\lambda^{2}-1}+\frac{\lambda}{\lambda^{4}-1}+\frac{\lambda^{2}}{\lambda^{6}-1}+\frac{\lambda^{3}}{\lambda^{8}-1}+\cdots\right)
$$Найдите $C_{0}$ и $\lambda$.

6 Рассмотрим теперь систему из проводящей сферы радиусом $R_1$ и потенциалом $V_0$ и заземлённой проводящей сферы радиусом $R_2$. Расстояние между центрами сфер – $D$. Покажите, что для зарядов-изображений в этой системе имеют место рекуррентные соотношения:\begin{aligned}
& q_{n+1} =\mp \frac{q_{n}^{\prime} R_{1}}{D-b_{n}^{\prime}}, & \quad & b_{n+1}= \pm \frac{R_{1}^{2}}{D-b_{n}^{\prime}} \\
&q_{n}^{\prime} =-\frac{R_{2} q_{n}}{D \mp b_{n}}, & \quad &b_{n}^{\prime}=\frac{R_{2}^{2}}{D \mp b_{n}}
\end{aligned}Здесь верхний знак соответствует случаю, когда сферы находятся рядом, а нижний знак – когда малая сфера $(R_1)$ находится внутри большой.

7 Получите отсюда замкнутое уравнение вида$$
P_{n+1} \mp c P_{n}+P_{n-1}=0.
$$Найдите $P_{n}$ и $c$.

8 Решите уравнение из пункта 7, считая, что решение можно искать в виде $$ P_{n}=A \lambda^{n} .$$

9 Покажите, что ёмкость системы можно представить в виде$$
C=C_{0}\left(1-\xi^{2}\right)\left(\frac{1}{1-\xi^{2}}+\frac{\lambda}{1-\xi^{2} \lambda^{2}}+\frac{\lambda^{2}}{1-\xi^{4} \lambda^{4}}+\cdots\right)
$$Найдите $C_{0}$, $\xi$, и $\lambda$.

10 Найдите ёмкость системы из двух концентрических сфер $(D=0)$.

Подсказка: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a^{n}=1 /(1-a)$ при $ a < 1 $.