Измерим напряжение между всеми клеммами.
$U,~мВ$:
| A | B | C | D | E | F | G | |
| A | $\times$ | 1459 | 1459 | 1459 | 1459 | 1459 | 1459 |
| B | $\times$ | $\times$ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| C | $\times$ | $\times$ | $\times$ | 0 | 0 | 0 | 0 |
| D | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | 0 | 0 | 0 |
| E | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | 0 | 0 |
| F | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | 0 |
| G | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ |
Видно, что напряжение между клеммой $A$ и любой другой одинаковое, а между любыми другими равно $0$. Это значит между любой клеммой и клеммой $A$ есть один и тот же источник напряжения. При этом цепь содержащая источник в черном ящике всегда разомкнута. Разумно предположить следующую схему ящика:
Любой новый провод между $A$ и серой областью привел бы к тому, что между контактами $B$-$G$ было бы напряжение. Измерим омметром сопротивление проводов $r_0=0.8~Ом$. Измерим омметром сопротивление между парами точек $B$-$G$ (значения в Ом):
| B | C | D | E | F | G | |
| B | $\times$ | 5.8 | 16.7 | 36.2 | 74.4 | 151.4 |
| C | $\times$ | $\times$ | 11.0 | 31.3 | 69.7 | 146.7 |
| D | $\times$ | $\times$ | $\times$ | 20.1 | 58.1 | 135.5 |
| E | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | 37.8 | 115.7 |
| F | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | 76.9 |
| G | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ |
Заметим, что сопротивления "складываются" вдоль B-C-D-E-F-G. Например, $R_{BD}=R_{BC} + R_{CD}$ с точностью до погрешности и сопротивления проводов. Это позволяет сходу предложить следующую схему черного ящика:
Остается дело за малым, измерить параметры системы. Из таблицы возьмем значение для сопротивления $R_5 = R_{FG} - r_0=(76.4 \pm 0.6)~\text{Ом}$. Погрешность всех измерений сопротивления оценим, как три значащих цифры последнего разряда.
Замкнем провода $A-G$. В таком случае через все резисторы течет один и тот же ток и мы имеем дело с делителем напряжения. Измерим напряжения на каждом из резисторов. Пересчитаем значения сопротивлений через $R_5$
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| $U, мВ$ | $47.0 \pm 0.3$ | $103.4 \pm 0.3$ | $188.4 \pm 0.3$ | $363 \pm 3$ | $737 \pm 3$ |
$R, Ом$ (пересчет) | $4.87 \pm 0.09$ | $10.72 \pm 0.16$ | $19.5 \pm 0.3$ | $37.6 \pm 0.8$ | |
| $R, Ом$ | $5.0 \pm 0.6$ | $10.2 \pm 0.6$ | $19.3 \pm 0.6$ | $37.0 \pm 0.6$ | $76.4 \pm 0.6$ |
Видно, что для первых трех резисторов расчет через напряжения оправдан и значительно повышает точностью полученных значений. Внутреннее сопротивление батарейки найдем с помощью измерения напряжения на ней при разной нагрузке $R$. При нагрузке $R$ ток в системе равен $U_0/(R+R_0)$, т.е. напряжение на батарейке равно
\[U_0 \left( 1 - \frac{R_0}{R+R_0} \right)\]
| Замкнуты | AC | AD | AE | AF | AG |
| $U, мВ$ | 1146 | 1292 | 1389 | 1421 | 1436 |
| $R_0, Ом$ | 2.4 | 2.0 | 1.8 | 2.0 | 1.3 |
Сделаем вывод, что $R_0 = (2.0 \pm 0.7)~Ом$
Внимание! Мультиметр в режиме амперметра разрешается подключать только (строго!!) к контактам В и С серого ящика.
Проведем измерения для разных подключений проводов
| $I_{200\text{m}}$ | $I_{20\text{m}}$ | $I_{2000\text{u}}$ | |
| AG | 2,8 | 1,9 | 408 |
| AF | 6,1 | 3,94 | 835 |
| AE | 12,7 | 8,1 | 1691 |
| AD | 26,4 | 17,89 | |
| AG, EF | 3,6 | 2,46 | 538 |
| AG, DE | 2,6 | 2,18 | 466 |
| AG, DF | 3,8 | 3,04 | 654 |
| AF, EF | 1583 | ||
| AF, EG | 973 | 4,58 | 973 |
| AG, BG | 1,2 | 0,92 | 200 |
| AG, CG | 69,3 | ||
| AE, DG | 13,1 | 8,49 | 1779 |
| AE, DF | 13 | 8,71 | 1845 |
Во всех случаях кроме подключения к $AG,BG$ резистор $R_1$ подключен параллельно амперметру и последовательно со схемой с эквивалентным сопротивлением $R^*$.
$R^*$ $R^*,~Ом$ AG $R_0+R_2+R_3+R_4+R_5$ 144.9 AF $R_0+R_2+R_3+R_4$ 68.5 AE $R_0+R_2+R_3$ 31.5 AD $R_0+R_2$ 12.2 AG, EF $R_0+R_2+R_3+R_5$ 107.9 AG, DE $R_0+R_2+R_4+R_5$ 125.6 AG, DF $R_0+R_2+R_5$ 88.6 AF, EF $R_0+R_2+R_3$ 31.5 AF, EG $R_0+R_2+R_3+\frac{R_4R_5}{R_4 + R_5}$ 56.4 AG, CG $R_0$ 2 AE, DG $R_0+R_2+\frac{(R_4+R_5)R_3}{R_3 + R_4 + R_5}$ 28.7 AE, DF $R_0+R_2+\frac{R_3R_4}{R_3 + R_4}$ 24.9
Тогда полный ток через систему
\[ I = \frac{U_0}{R^* + \frac{R_1 R_A}{R_1 + R_A}},\]а ток через амперметр
\[ I_A = I\frac{R_1}{R_1 + R_A} = \frac{U_0}{R^* + \frac{R_1 R_A}{R_1 + R_A}} \frac{R_1}{R_1 + R_A} = \frac{U_0 R_1}{R^*(R_1 + R_A) + R_1 R_A}.\]Зависимость линеаризуется следующим образом:
\[\frac{1}{I_A} = R^* \frac{R_1 + R_A}{R_1 U_0} + \frac{R_A}{U_0}.\]Погрешность $R^*$ можно оценить как $\min (0.6/76.4 \cdot R^*, 0.7~Ом)$
С помощью коэффициентов наклона $k$ найдем значения $R_A$:
| $k_{200\text{m}}$ | $k_{20\text{m}}$ | $k_{2000\text{u}}$ |
| $3.7 \pm 0.2$ | $5.16 \pm 0.05$ | $23.5 \pm 0.02$ |
| $R_{200\text{m}},~Ом$ | $R_{20\text{m}},~Ом$ | $R_{2000\text{u}},~Ом$ |
| $14 \pm 2$ | $20.8 \pm 0.4$ | $113 \pm 2$ |