Pho.rs: [Forked from 3664] ФТЛ. X24-4T3

Условие

A. Кинематика колеса

B. Динамика колеса

C. Начальное положение колеса

D. Вертикальное положение спицы OB

Перед тем, как поступить в продажу, новые модели транспортных средств должны проходить краш-тест. В одном из таких тестов одна из трёх спиц автомобильного колеса была выбита. Угол между спицами $\alpha=120^{\circ}$. Вид колеса в разрезе показан на рисунке. Колесо считайте однородным диском с внутренним и внешним радиусами $R_1=4R_0/5$ и $R_0$ соответственно, а спицы считайте однородными стержнями. Масса каждой спицы $m$, а масса диска $M=8m$. В начальный момент колесо неподвижно и находится в положении, показанном на рисунке (биссектриса угла между спицами в начальном положении горизонтальна). Колесо отпускают, и оно катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Обозначим за $\theta$ угол поворота колеса в направлении против часовой стрелки. Ускорение свободного падения равно $g$. Подставляйте угол $\alpha$, а также связи $R_0$ с $R_1$ и $M$ с $m$ только в пунктах, где это явно требуется!

Часть A. Кинематика колеса (2.4 балла)

В данной части задачи вам предлагается определить угловую скорость и угловое ускорение стержня в произвольном положении. Считайте угловую скорость и угловое ускорение колеса положительными при вращении в направлении против часовой стрелки.

A1 Определите момент инерции $I$ колеса относительно оси его касания с горизонтальной поверхностью в зависимости от угла $\theta$. Ответ выразите через $m$, $M$, $R_0$, $R_1$, $\alpha$ и $\theta$.

Примечание: ваше выражение не должно содержать тригонометрических функций от суммы/разности углов.

A2 Определите угловую скорость $\omega$ колеса в зависимости от угла $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

A3 Определите угловое ускорение $\varepsilon$ колеса в зависимости от угла $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

Часть B. Динамика колеса (3.2 балла)

В данной части задачи вам предлагается определить силу взаимодействия колеса с горизонтальной поверхностью в произвольном положении. Введём систему координат $xy$, ось $x$ которой направлена влево, а ось $y$ – вертикально вверх.

B1 Пусть при повороте колеса на угол $\theta$ угловая скорость колеса равна $\omega$, а угловое ускорение – $\varepsilon$. Определите силу трения $F_x$ и силу нормальной реакции $N_y$, действующие на колесо. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$, $\theta$, $\omega$ и $\varepsilon$.

Примечание: все тригонометрические функции, зависящие от угла $\alpha$, должны быть выражены как тригонометрические функции угла $\alpha/2$.

B2 Определите силу трения $F_x$, действующую на колесо при повороте на угол $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

B3 Определите силу нормальной реакции $N_y$, действующую на колесо при повороте на угол $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

Часть C. Начальное положение колеса (1.6 балла)

Рассмотрим начальное положение колеса.

C1 Определите угловое ускорение $\varepsilon_0$ колеса в начальном положении. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

C2 Выразите угловое ускорение $\varepsilon_0$ через $g$ и $R_0$.

C3 Определите силу трения $F_0$, действующую на колесо в начальном положении. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

C4 Выразите силу трения $F_0$ через $m$ и $g$.

C5 Определите силу нормальной реакции $N_0$, действующую на колесо в начальном положении. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

C6 Выразите силу нормальной реакции $N_0$ через $m$ и $g$.

Часть D. Вертикальное положение спицы OB (2.8 балла)

Рассмотрим положение колеса, в котором спица $OB$ вертикальна.

D1 Определите угловую скорость $\omega_1$ колеса в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

D2 Выразите угловую скорость $\omega_1$ через $g$ и $R_0$.

D3 Определите угловое ускорение $\varepsilon_1$ колеса в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

D4 Выразите угловое ускорение $\varepsilon_1$ через $g$ и $R_0$.

D5 Определите силу трения $F_1$, действующую на колесо в в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

D6 Выразите силу трения $F_1$ через $m$ и $g$.

D7 Определите силу нормальной реакции $N_1$, действующую на колесо в в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

D8 Выразите силу нормальной реакции $N_1$ через $m$ и $g$.