Часть A. Кинематика колеса (2.4 балла)

В данной части задачи вам предлагается определить угловую скорость и угловое ускорение стержня в произвольном положении. Считайте угловую скорость и угловое ускорение колеса положительными при вращении в направлении против часовой стрелки.

A1  ^1.20 Определите момент инерции $I$ колеса относительно оси его касания с горизонтальной поверхностью в зависимости от угла $\theta$. Ответ выразите через $m$, $M$, $R_0$, $R_1$, $\alpha$ и $\theta$. 

Примечание: ваше выражение не должно содержать тригонометрических функций от суммы/разности углов.

A2  ^0.40 Определите угловую скорость $\omega$ колеса в зависимости от угла $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

A3  ^0.80 Определите угловое ускорение $\varepsilon$ колеса в зависимости от угла $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

Часть B. Динамика колеса (3.2 балла)

В данной части задачи вам предлагается определить силу взаимодействия колеса с горизонтальной поверхностью в произвольном положении. Введём систему координат $xy$, ось $x$ которой направлена влево, а ось $y$ – вертикально вверх.

B1  ^1.60 Пусть при повороте колеса на угол $\theta$ угловая скорость колеса равна $\omega$, а угловое ускорение – $\varepsilon$. Определите силу трения $F_x$ и силу нормальной реакции $N_y$, действующие на колесо. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$, $\theta$, $\omega$ и $\varepsilon$.

Примечание: все тригонометрические функции, зависящие от угла $\alpha$, должны быть выражены как тригонометрические функции угла $\alpha/2$.

B2  ^0.80 Определите силу трения $F_x$, действующую на колесо при повороте на угол $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

B3  ^0.80 Определите силу нормальной реакции $N_y$, действующую на колесо при повороте на угол $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

Часть C. Начальное положение колеса (1.6 балла)

Рассмотрим начальное положение колеса.

C1  ^0.20 Определите угловое ускорение $\varepsilon_0$ колеса в начальном положении. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

C2  ^0.20 Выразите угловое ускорение $\varepsilon_0$ через $g$ и $R_0$.

C3  ^0.30 Определите силу трения $F_0$, действующую на колесо в начальном положении. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

C4  ^0.30 Выразите силу трения $F_0$ через $m$ и $g$.

C5  ^0.30 Определите силу нормальной реакции $N_0$, действующую на колесо в начальном положении. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

C6  ^0.30 Выразите силу нормальной реакции $N_0$ через $m$ и $g$.

Часть D. Вертикальное положение спицы OB (2.8 балла)

Рассмотрим положение колеса, в котором спица $OB$ вертикальна.

D1  ^0.20 Определите угловую скорость $\omega_1$ колеса в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

D2  ^0.20 Выразите угловую скорость $\omega_1$ через $g$ и $R_0$.

D3  ^0.20 Определите угловое ускорение $\varepsilon_1$ колеса в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

D4  ^0.20 Выразите угловое ускорение $\varepsilon_1$ через $g$ и $R_0$.

D5  ^0.50 Определите силу трения $F_1$, действующую на колесо в в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

D6  ^0.50 Выразите силу трения $F_1$ через $m$ и $g$.

D7  ^0.50 Определите силу нормальной реакции $N_1$, действующую на колесо в в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

D8  ^0.50 Выразите силу нормальной реакции $N_1$ через $m$ и $g$.