Примечание: ваше выражение не должно содержать тригонометрических функций от суммы/разности углов.

Момент инерции однородного диска массой $m$ радиусом $R$ относительно оси, проходящих через центр перпендикулярно его плоскости, равен:
$$I_{C(\text{д})}=\cfrac{mR^2}{2}{.}
$$Масса диска равна $m=\rho\pi{R}^2$, где $\rho$ – поверхностная массовая плотность.
Для диска с внутренним радиусом $R_1$ и внешним радиусом $R_0$ имеем:
$$M=\rho\pi(R^2_0-R^2_1)\qquad I_{C(\text{д})}=\cfrac{\rho\pi(R^4_0-R^4_1)}{2}\Rightarrow I_{C(\text{д})}=\cfrac{M(R^2_0+R^2_1)}{2}{.}
$$С учётом теоремы Гюйгенса–Штейнера для момента инерции диска $I_\text{д}$ относительно оси, проходящей через точку касания, имеем:
$$I_\text{д}=\cfrac{M(3R^2_0+R^2_1)}{2}{.}
$$Момент инерции однородного стержня массой $m$ длиной $R_1$ относительно оси, проходящей через центр стержня перпендикулярно ему, равен:
$$I_{C(\text{ст})}=\cfrac{mR^2_1}{12}{.}
$$Определим расстояния до центров стержней $OA$ и $OB$ при повороте колеса на угол $\theta$:
$$L^2_{OA}=R^2_0+\cfrac{R^2_1}{4}+R_0R_1\cos\left(\cfrac{\pi-\alpha}{2}+\theta\right){.}
$$$$L^2_{OB}=R^2_0+\cfrac{R^2_1}{4}-R_0R_1\cos\left(\cfrac{\pi-\alpha}{2}-\theta\right){.}
$$С учётом теоремы Гюйгенса–Штейнера суммарный момент инерции стержней относительно оси, проходящей через точку касания, составляет:
$$I_\text{ст}=2I_{C(\text{ст})}+m(L^2_{OA}+L^2_{OB})=2mR^2_0+\cfrac{2mR^2_1}{3}+mR_0R_1\left(\cos\left(\cfrac{\pi-\alpha}{2}+\theta\right)-\cos\left(\cfrac{\pi-\alpha}{2}-\theta\right)\right){.}
$$Раскрывая косинусы суммы и разности, получим:
$$I_\text{ст}=2mR^2_0+\cfrac{2mR^2_1}{3}-2mR_0R_1\cos(\alpha/2)\sin\theta{.}
$$Окончательно:
$$I=I_\text{д}+I_\text{ст}{,}
$$что приводит к следующему выражению:

Центр масс системы двух стержней расположен на расстоянии $r$ от точки $O$, равном:
$$r=\cfrac{R_1\cos(\alpha/2)}{2}{.}
$$При повороте колеса на угол $\theta$ изменение потенциальной энергии $\Delta{W}_p$ составляет:
$$\Delta{W}_p=-2mgr\sin\theta{.}
$$Кинетическая энергия твёрдого тела может быть получена с помощью выражения:
$$E_k=\cfrac{I_\text{МОВ}\omega^2}{2}{,}
$$где $I_\text{МОВ}=I$ – момент инерции твёрдого тела относительно мгновенной оси вращения.
Воспользуемся законом сохранения механической энергии:
$$E_k=-\Delta{W}_p\Rightarrow \omega=\sqrt{\cfrac{2mgr\sin\theta}{I}}{.}
$$Подставляя $r$ и $I$, получим:

Энергетическое решение: Для углового ускорения имеем:

$$\varepsilon=\cfrac{d\omega}{dt}=\cfrac{d\omega}{d\theta}\cfrac{d\theta}{dt}=\cfrac{1}{2}\cfrac{d\omega^2}{d\theta}{.}
$$

Выражение для $\omega^2$ имеет вид:

$$\omega^2=\cfrac{A\sin\theta}{B-C\sin\theta}\Rightarrow \cfrac{d\omega^2}{d\theta}=\cfrac{(A(B-C\sin\theta)+AC\sin\theta)\cos\theta}{(B-C\sin\theta)^2}=\cfrac{AB\cos\theta}{(B-C\sin\theta)^2}{.}
$$

Подставляя $A$, $B$ и $C$, получим:

Динамическое решение: Обозначим за $P$ точку касания диска с поверхностью, а за $C$ – центр масс системы.

Момент импульса системы $\vec{L}_P$ относительно точки касания равняется:

$$\vec{L}_P=I_C\vec{\omega}+\bigl[\vec{r}_C\times\vec{p}\bigr]{,}
$$

где $I_C$ – момент импульса системы относительно оси, проходящей через центр масс системы перпендикулярно плоскости рисунка, $\vec{r}_C$ – радиус–вектор центра масс системы относительно точки $P$, а $\vec{p}$ – импульс системы.

Дифференцируя:

$$\cfrac{d\vec{L}_P}{dt}=I_C\vec{\varepsilon}+\bigl[\vec{v}_C\times\vec{p}\bigr]+\bigl[\vec{r}_C\times\dot{\vec{p}}\bigr]=I_C\vec{\varepsilon}+(M+2m)\bigl[\vec{r}_C\times\vec{a}_C\bigr]{,}
$$

где $\vec{a}_C$ – ускорение центра масс системы.

Для ускорения центра колеса имеем:

$$\vec{a}_O=\bigl[\vec{\varepsilon}\times\overrightarrow{PO}\bigr]{,}
$$

откуда для ускорения центра масс получим:

$$\vec{a}_C=\vec{a}_O+\bigl[\vec{\varepsilon}\times\overrightarrow{OC}\bigr]-\omega^2\overrightarrow{OC}=\bigl[\vec{\varepsilon}\times\vec{r}_C\bigr]-\omega^2\overrightarrow{OC}{.}
$$

Таким образом, для производной момента импульса по времени имеем:

$$\cfrac{d\vec{L}_P}{dt}=\left(I_C+(M+2m)r^2_C\right)\vec{\varepsilon}-(M+2m)\omega^2\bigl[\vec{r}_C\times\overrightarrow{OC}\bigr]=I\vec{\varepsilon}-(M+2m)\omega^2\bigl[\vec{r}_C\times\overrightarrow{OC}\bigr]{.}
$$

Учитывая, что $\vec{r}_C=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}$:

$$\cfrac{d\vec{L}_P}{dt}=I\vec{\varepsilon}-(M+2m)\omega^2\bigl[\overrightarrow{PO}\times\overrightarrow{OC}\bigr]{.}
$$

Спроецируем полученное уравнение на ось $z$, направленную перпендикулярно плоскости рисунка “на нас”:

$$\cfrac{dL_P}{dt}=I\varepsilon-(M+2m)\omega^2\bigl[\overrightarrow{PO}\times\overrightarrow{OC}\bigr]_z{.}
$$

Разберёмся с последним слагаемым:

$$-(M+2m)\omega^2\bigl[\overrightarrow{PO}\times\overrightarrow{OC}\bigr]_z=-(M+2m)\omega^2OP\cdot OC\cdot \cos\theta{.}
$$

Для произведения $(M+2m)OC$ имеем:

$$(M+2m)OC=2mr=mR_1\cos(\alpha/2){,}
$$

откуда:

$$-(M+2m)\omega^2\bigl[\overrightarrow{PO}\times\overrightarrow{OC}\bigr]_z=-mR_0R_1\omega^2\cos(\alpha/2)\cos\theta{.}
$$

Таким образом:

$$\cfrac{dL_P}{dt}=I\varepsilon-mR_0R_1\omega^2\cos(\alpha/2)\cos\theta{.}
$$

Из основного уравнения динамики вращательного движения имеем:

$$\cfrac{dL_p}{dt}=M_z=2mgr\cos\theta=mgR_1\cos(\alpha/2)\cos\theta{.}
$$

Подставляя $\omega^2$ и $I$, получим:

Примечание: все тригонометрические функции, зависящие от угла $\alpha$, должны быть выражены как тригонометрические функции угла $\alpha/2$.

Для силы трения $F_x$ и силы нормальной реакции $N_y$ имеем:
$$F_x=\cfrac{dp_x}{dt}\qquad N_y=(M+2m)g+\cfrac{dp_y}{dt}{,}
$$где $\vec{p}$ – импульс системы.
Определим производную импульса диска по времени:
$$\cfrac{d\vec{p}_\text{д}}{dt}=M\vec{a}_O=M\bigl[\vec{\varepsilon}\times\overrightarrow {PO}\bigr]\Rightarrow\cfrac{dp_{\text{д}(x)}}{dt}=M\varepsilon R_0\quad \cfrac{dp_{\text{д}(y)}}{dt}=0{.}
$$Пусть $C'$ – положение центра масс системы стержней, а $\vec{r}=\overrightarrow{OC'}$. Тогда для производной по времени импульса стержней имеем:
$$\cfrac{d\vec{p}_{\text{ст}}}{dt}=2m\vec{a}_{C'}=2m\left(\vec{a}_O+\bigl[\vec{\varepsilon}\times\vec{r}\bigr]-\omega^2\vec{r}\right){.}
$$Проецируя на оси $x$ и $y$:
$$\cfrac{dp_{\text{ст}(x)}}{dt}=m\varepsilon(2R_0-R_1\cos(\alpha/2)\sin\theta)-m\omega^2R_1\cos(\alpha/2)\cos\theta{.}
$$$$\cfrac{dp_{\text{ст}(y)}}{dt}=m\omega^2R_1\cos(\alpha/2)\sin\theta-m\varepsilon R_1\cos(\alpha/2)\cos\theta{.}
$$Тогда для $F_x$ и $N_y$ имеем:

Подставляя $\varepsilon$ и $\omega$ в выражение для $F_x$, получим:

Подставляя $\varepsilon$ и $\omega$ в выражение для $N_y$, получим:

В начальном положении $\theta=0$, поэтому из результатов пункта $\mathrm{A3}$:

В начальном положении $\theta=0$, поэтому из результатов пункта $\mathrm{B2}$:

В начальном положении $\theta=0$, поэтому из результатов пункта $\mathrm{B3}$:

В указанном положении $\theta=(\pi-\alpha)/2$, поэтому из результатов пункта $\mathrm{A2}$:

В указанном положении $\theta=(\pi-\alpha)/2$, поэтому из результатов пункта $\mathrm{A3}$:

В указанном положении $\theta=(\pi-\alpha)/2$, поэтому из результатов пункта $\mathrm{B2}$:

В указанном положении $\theta=(\pi-\alpha)/2$, поэтому из результатов пункта $\mathrm{B3}$: