Pho.rs: [Forked from 3664] ФТЛ. X24-4T3

A1 ^1.20 Определите момент инерции $I$ колеса относительно оси его касания с горизонтальной поверхностью в зависимости от угла $\theta$. Ответ выразите через $m$, $M$, $R_0$, $R_1$, $\alpha$ и $\theta$.

Примечание: ваше выражение не должно содержать тригонометрических функций от суммы/разности углов.

1 Записано выражение для момента инерции однородного диска относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости: $$I_{C(\text{д})}=\cfrac{mR^2}{2}{.} $$	0.10
2 Определён момент инерции диска с внутренним радиусом $R_1$ и внешним радиусом $R_0$ относительно оси $O$: $$I_{C(\text{д})}=\cfrac{M(R^2_0+R^2_1)}{2}{.} $$	0.20
3 Записано выражение для момента инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню: $$I_{C(\text{ст})}=\cfrac{mR^2_1}{12}{.} $$	0.10
4 Определено расстояние $L_{OA}$: $$L^2_{OA}=R^2_0+\cfrac{R^2_1}{4}+R_0R_1\cos\left(\cfrac{\pi-\alpha}{2}+\theta\right){.} $$	0.20
5 Определено расстояние $L_{OB}$: $$L^2_{OB}=R^2_0+\cfrac{R^2_1}{4}-R_0R_1\cos\left(\cfrac{\pi-\alpha}{2}-\theta\right){.} $$	0.20
6 Получено выражение для $I$: $$I\left(\theta\right)=\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos\left(\alpha/2\right)\sin\theta{.} $$	0.40

A2 ^0.40 Определите угловую скорость $\omega$ колеса в зависимости от угла $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

1 Записано выражение для кинетической энергии колеса: $$E_k=\cfrac{I\omega^2}{2}{.} $$	0.10
2 Получено выражение для изменения потенциальной энергии системы: $$\Delta{W}_p=-mgR_1\cos(\alpha/2)\sin\theta{.} $$	0.20
3 Получено выражение для $\omega$: $$\omega=\sqrt{\cfrac{2mgR_1\cos\left(\alpha/2\right)\sin\theta}{\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos\left(\alpha/2\right)\sin\theta}}{.} $$	0.10

A3 ^0.80 Определите угловое ускорение $\varepsilon$ колеса в зависимости от угла $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

1 M1 Угловое ускорение $\varepsilon$ находится дифференцированием угловой скорости $\omega$.	0.20
2 M1 Правильно продифференцировано выражение для $\omega^2$: $$\omega^2=\cfrac{A\sin\theta}{B-C\sin\theta}\Rightarrow \cfrac{d\omega^2}{d\theta}=\cfrac{(A(B-C\sin\theta)+AC\sin\theta)\cos\theta}{(B-C\sin\theta)^2}=\cfrac{AB\cos\theta}{(B-C\sin\theta)^2}{.} $$	0.40
3 M1 Получено выражение для $\varepsilon$: $$\varepsilon=\cfrac{mgR_1\cos\left(\alpha/2\right)\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)\cos\theta}{\left(\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos\left(\alpha/2\right)\sin\theta\right)^2}{.} $$	0.20
4 M2 Записано выражение для момент импульса относительно точки касания: $$\vec{L}_P=I_C\vec{\omega}+\bigl[\vec{r}_C\times\vec{p}\bigr]{,} $$	0.10
5 M2 Выражение для $\vec{L}_p$ правильно продифференцировано: $$\cfrac{d\vec{L}_P}{dt}=I_C\vec{\varepsilon}+(M+2m)\bigl[\vec{r}_C\times\vec{a}_C\bigr]{,} $$	0.20
6 M2 Определено ускорение центра масс системы: $$\vec{a}_C=\bigl[\vec{\varepsilon}\times\vec{r}_C\bigr]-\omega^2\overrightarrow{OC}{.} $$	0.20
7 M2 Определён момент силы тяжести: $$M_z=mgR_1\cos(\alpha/2)\cos\theta{.} $$	0.10
8 M2 Получено выражение для $\varepsilon$: $$\varepsilon=\cfrac{mgR_1\cos\left(\alpha/2\right)\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)\cos\theta}{\left(\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos\left(\alpha/2\right)\sin\theta\right)^2}{.} $$	0.20

B1 ^1.60 Пусть при повороте колеса на угол $\theta$ угловая скорость колеса равна $\omega$, а угловое ускорение – $\varepsilon$. Определите силу трения $F_x$ и силу нормальной реакции $N_y$, действующие на колесо. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$, $\theta$, $\omega$ и $\varepsilon$.

Примечание: все тригонометрические функции, зависящие от угла $\alpha$, должны быть выражены как тригонометрические функции угла $\alpha/2$.

1

B2 ^0.80 Определите силу трения $F_x$, действующую на колесо при повороте на угол $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

1 Получено выражение для $F_x$:
$F_x=\cfrac{mgR_1\cos\left(\alpha/2\right)\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)\cos\theta\left(MR_0+m\left(2R_0-R_1\cos\left(\alpha/2\right)\sin\theta\right)\right)}{\left(\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos\left(\alpha/2\right)\sin\theta\right)^2}-$
$-\cfrac{2m^2gR^2_1\cos^2\left(\alpha/2\right)\sin\theta\cos\theta}{\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos\left(\alpha/2\right)\sin\theta}{.}$

0.80

B3 ^0.80 Определите силу нормальной реакции $N_y$, действующую на колесо при повороте на угол $\theta$. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$, $\alpha$ и $\theta$.

1 Получено выражение для $N_y$:
$N_y=(M+2m)g+\cfrac{2m^2gR^2_1\cos^2\left(\alpha/2\right)\sin^2\theta}{\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos\left(\alpha/2\right)\sin\theta}-$
$-\cfrac{m^2gR^2_1\cos^2\left(\alpha/2\right)\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)\cos^2\theta}{\left(\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos\left(\alpha/2\right)\sin\theta\right)^2}{.}$

0.80

C1 ^0.20 Определите угловое ускорение $\varepsilon_0$ колеса в начальном положении. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

1 Верно подставлено $\theta=0$ в ответ на $\mathrm{A3}$.	0.10
2 Получено выражение для $\varepsilon_0$: $$\varepsilon_0=\cfrac{mgR_1\cos\left(\alpha/2\right)}{\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)}{.} $$	0.10

C2 ^0.20 Выразите угловое ускорение $\varepsilon_0$ через $g$ и $R_0$.

1 Получено выражение для $\varepsilon_0$:
$$\varepsilon_0=\cfrac{15}{637}\cfrac{g}{R_0}{.}
$$

0.20

C3 ^0.30 Определите силу трения $F_0$, действующую на колесо в начальном положении. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

1 Верно подставлено $\theta=0$ в ответ на $\mathrm{B2}$.	0.10
2 Получено выражение для $F_0$: $$F_0=\cfrac{(M+2m)mgR_0R_1\cos\left(\alpha/2\right)}{\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)}{.} $$	0.20

C4 ^0.30 Выразите силу трения $F_0$ через $m$ и $g$.

1 Получено выражение для $F_0$:
$$F_0=\cfrac{150}{637}\cdot mg{.}
$$

0.30

C5 ^0.30 Определите силу нормальной реакции $N_0$, действующую на колесо в начальном положении. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

1 Верно подставлено $\theta=0$ в ответ на $\mathrm{B3}$.	0.10
2 Получено выражение для $N_0$: $$N_0=(M+2m)g-\cfrac{m^2gR^2_1\cos^2\left(\alpha/2\right)}{\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)}{.} $$	0.20

C6 ^0.30 Выразите силу нормальной реакции $N_0$ через $m$ и $g$.

1 Получено выражение для $N_0$:
$$N_0=\cfrac{6364}{637}\cdot mg{.}
$$

0.30

D1 ^0.20 Определите угловую скорость $\omega_1$ колеса в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

1 Верно подставлено $\theta=(\pi-\alpha)/2$ в ответ на $\mathrm{A2}$.	0.10
2 Получено выражение для $\omega_1$: $$\omega_1=\sqrt{\cfrac{2mgR_1\cos^2\left(\alpha/2\right)}{\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos^2\left(\alpha/2\right)}}{.} $$	0.10

D2 ^0.20 Выразите угловую скорость $\omega_1$ через $g$ и $R_0$.

1 Получено выражение для $\omega_1$:
$$\omega_1=\sqrt{\cfrac{15}{622}\cdot\cfrac{g}{R_0}}{.}
$$

0.20

D3 ^0.20 Определите угловое ускорение $\varepsilon_1$ колеса в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

1 Верно подставлено $\theta=(\pi-\alpha)/2$ в ответ на $\mathrm{A3}$.	0.10
2 Получено выражение для $\varepsilon_1$: $$\varepsilon_1=\cfrac{mgR_1\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)\sin\left(\alpha/2\right)\cos\left(\alpha/2\right)}{\left(\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos^2\left(\alpha/2\right)\right)^2}{.} $$	0.10

D4 ^0.20 Выразите угловое ускорение $\varepsilon_1$ через $g$ и $R_0$.

1 Получено выражение для $\varepsilon_1$:
$$\varepsilon_1=\cfrac{9555\sqrt{3}}{773768}\cdot\cfrac{g}{R_0}{.}
$$

0.20

D5 ^0.50 Определите силу трения $F_1$, действующую на колесо в в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

1 Верно подставлено $\theta=(\pi-\alpha)/2$ в ответ на $\mathrm{B2}$.	0.10
2 Получено выражение для $F_1$: $F_1=\cfrac{mgR_1\sin\left(\alpha/2\right)\cos\left(\alpha/2\right)\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)\left(MR_0+m\left(2R_0-R_1\cos^2\left(\alpha/2\right)\right)\right)}{\left(\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos^2\left(\alpha/2\right)\right)^2}-$ $-\cfrac{2m^2gR^2_1\cos^3\left(\alpha/2\right)\sin\left(\alpha/2\right)}{\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos^2\left(\alpha/2\right)}{.}$	0.40

D6 ^0.50 Выразите силу трения $F_1$ через $m$ и $g$.

1 Получено выражение для $F_1$:
$$F_1=\cfrac{89907\sqrt{3}}{773768}\cdot mg{.}
$$

0.50

D7 ^0.50 Определите силу нормальной реакции $N_1$, действующую на колесо в в положении, в котором спица $OB$ вертикальна. Ответ выразите через $M$, $m$, $R_0$, $R_1$, $g$ и $\alpha$.

1 Верно подставлено $\theta=(\pi-\alpha)/2$ в ответ на $\mathrm{B3}$.	0.10
2 Получено выражение для $N_1$: $N_1=(M+2m)g+\cfrac{2m^2gR^2_1\cos^4\left(\alpha/2\right)}{\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos^2\left(\alpha/2\right)}-$ $-\cfrac{m^2gR^2_1\sin^2\left(\alpha/2\right)\cos^2\left(\alpha/2\right)\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)}{\left(\left(R^2_1+3R^2_0\right)\left(\cfrac{M}{2}+\cfrac{2m}{3}\right)-2mR_0R_1\cos^2\left(\alpha/2\right)\right)^2}{.}$	0.40

D8 ^0.50 Выразите силу нормальной реакции $N_1$ через $m$ и $g$.

1 Получено выражение для $N_1$:
$$N_1=\cfrac{7735679}{773768}\cdot mg{.}
$$

0.50

[Forked from 3664] ФТЛ. X24-4T3

Разбалловка