Поскольку стержни и точка их соединения невесомы:
$$\vec T_1 + \vec T_2 + \vec T_3 = \vec 0.$$В свою очередь, углы между любыми двумя стержнями равны, поэтому:
$$|\vec T_1| = |\vec T_2| = |\vec T_3| = T.$$
Расположим оси $x$ и $y$ так, как указано на рисунке, и перейдем в систему отсчета, связанную с точкой соединения стержней. Ускорение данной точки обозначим за $a$. Тогда можно записать баланс действующих сил для каждого из трех шариков в проекции на соответствующие стержни:
$$
\begin{gathered}
T = T_1 = ma_x \cos\frac\pi6 - ma_y \cos\frac\pi3,\\
T = T_2 = -2ma_x \cos\frac\pi6 - 2ma_y \cos\frac\pi3,\\
T = T_3 = 3ma_x + 3m\frac{v_0^2}{L}.
\end{gathered}
$$Данная система содержит три неизвестных $T$, $a_x$, $a_y$. Решив систему, получим искомое:
$$T = \frac{6mv_0^2}{11L}$$Тогда ускорения для шариков массой $m$, $2m$, $3m$ соответственно равны:
$$a_1 = \frac{6v_0^2}{11L}, \quad a_2 = \frac{3v_0^2}{11L}, \quad a_3 = \frac{2v_0^2}{11L}.$$