A1  ^?? Вспомним, в какой плоскости следует наблюдать кольца без потери контрастности, если используется протяженный источник.

Кольца на большом удалении

A2  ^?? Рассчитайте длины волн излучения $\lambda_К$, для которых центр системы колец имеет максимум интенсивности при использовании порядка интерференции $K$.

Обнаруживается яркий центр для всех таких длин волн, что $$\frac{2 e}{\lambda_{К}}=K \implies \lambda_{К}=\frac{2 e}{K},\tag{1}$$ где $K$ – целое число.

A3  ^?? Интерферометр освещается излучением с длиной волны $\lambda$ чуть меньшей предыдущего значения $\lambda_К$. Рассчитайте угловой радиус $\alpha_{К}(\lambda)$ ярких колец, соответствующих порядку интерференции $K$, в зависимости только от $\lambda_{К}$ и $\lambda$. (По предположению, разность $\lambda_{К}-\lambda$ такова, что угол $\alpha_{К}(\lambda)$ можно считать малым.)

Кольца порядка $K$ для длин волн $\lambda<\lambda_К$. Имеем $$2e\cos \alpha_К(\lambda)=K \lambda. \tag{2}$$ Поскольку величина $\alpha_{К}$ мала, $$2 e\left(1-\frac{\alpha_{К}^{2}}{2}\right)=K \lambda$$ следовательно, используя $(1)$, получаем $$\alpha_К(\lambda)=\sqrt{2} \sqrt{1-\frac{\lambda}{\lambda_К}}. \tag{3}$$

B1  ^?? Каков промежуток, разделяющий на пластинке изображения щели, соответствующие длинам волн $\lambda_{1}=4500$ и $\lambda_{2}=5500~\overset{\circ}{\mathrm{A}}$ в первом порядке дифракции?

Дисперсия решетки

Падающие лучи перпендикулярны решетке ($i=0$). Пусть $P$ – период решетки. Главные максимумы определяются выражением $$P \sin i'=p \lambda, ~ где ~p~ -~целое ~число.$$ Спектры первого порядка образуются под таким углом дифракции $i'$, что $$P \sin i'=\lambda \implies \sin i'=\frac{\lambda}{P}=\frac{0.5}{1}=\frac{1}{2}.\tag{4}$$Дифференцируя $(4)$, получаем $$P \cos i'\, \mathrm d i'=\mathrm d \lambda. \tag{5}$$Изображения входной щели, соответствующие $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$, разделены промежутком$$\mathrm d x=F \mathrm d i'=\frac{F \mathrm d \lambda}{P \cos i'}=3 \cdot 10^{3} \cdot \frac{0.1}{1 \cdot \sqrt{3} / 2}=2 \sqrt{3} \cdot 10^{2},  \tag{6}$$

B2  ^?? Рассчитайте значения линейной дисперсии $D=\mathrm d x/\mathrm d \lambda$ (в $мм/\overset{\circ}{\mathrm{A}}$) для длин волн $\lambda_{0}, \lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ в первом порядке дифракции.

Объединяя $(4)$ и $(5)$, получаем значение $$\frac{\mathrm d i'}{\mathrm d \lambda}=\frac{1}{P \cos i'}=\frac{1}{P} \frac{1}{\sqrt{1-\lambda^{2} / P^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{P^{2}-\lambda^{2}}},$$ для которого дисперсия решетки $D=\mathrm d x / \mathrm d \lambda$ в первом порядке равна $$D=\frac{\mathrm d x}{\mathrm d \lambda} \frac{F}{\sqrt{P^{2}-\lambda^{2}}}. \tag{7}$$ Здесь $F$ выражается в миллиметрах, а $P$ и $\lambda$ – в ангстремах.

Численный пример

$$\lambda_{1}=4500~\overset{\circ}{\mathrm{A}}, \quad D_{1}=\frac{3 \cdot 10^{3}}{\sqrt{10^{8}-(4.5)^{2} 10^{6}}}=\frac{3}{\sqrt{10^{2}-(4.5)^{2}}}=0.335~мм/\overset{\circ}{\mathrm{A}},$$$$\lambda_{0}=5000~\overset{\circ}{\mathrm{A}}, \quad D_{0}=\frac{3 \cdot 10^{3}}{\sqrt{10^{8}-(5)^{2} 10^{6}}}=\frac{3}{\sqrt{10^{2}-(5)^{2}}}=0.346~мм/\overset{\circ}{\mathrm{A}},$$$$\lambda_{2}=5500~\overset{\circ}{\mathrm{A}}, \quad D_{2}=\frac{3 \cdot 10^{3}}{\sqrt{10^{8}-(5.5)^{2} 10^{6}}}=\frac{3}{\sqrt{10^{2}-(5.5)^{2}}}=0.36~мм/\overset{\circ}{\mathrm{A}}.$$

B3  ^?? Рассчитайте разрешающую силу решетки при использовании ее в первом порядке дифракции.

Две длины волны $\lambda$ и $\lambda+\mathrm d \lambda$ в спектре первого порядка разделены промежутком $\mathrm d i'=\mathrm d \lambda /P \cos i'$. Ширина каждой линии равна $$\delta i'=\frac{\lambda}{L \cos i'} \tag{8}$$ Две линии разрешены, если $$\mathrm d i' \geqslant \delta i'\tag{8'}$$ Разрешающая сила решетки в первом порядке дифракции равна $$R=\frac{\lambda}{\mathrm d \lambda}, \tag{9}$$ так что, согласно ($8'$), получаем $$R=\frac{L}{P}=Число \quad штрихов=n L,$$ $$R=1000 \cdot 50=5 \cdot 10^{4}.$$

C1  ^?? Интерферометр освещается светом с длиной волны $\lambda$. Покажите, что на пластинке видны точки максимальной освещенности. Найдите координаты этих точек в системе $xOy$, которая определена выше.

Дисперсия эталона Фабри-Перо

Объективы $C$ и $\Omega$ имеют одно и то же фокусное расстояние. Ордината сопряженных точек одинакова в плоскости $E$ и в плоскости $A$ (единичное увеличение). Достаточно изучить дисперсию эталона Фабри–Перо в фокальной плоскости линзы $L$. 

Использование монохроматической волны с длиной $\lambda$.

Яркие кольца наблюдаются при $$\frac{2 e}{\lambda} \cos \alpha_{К}=\frac{2 e}{\lambda}\left(1-\frac{\alpha_{К}^{2}}{2}\right)=K,\quad K-целое \quad число.\tag{10}$$ Входная щель спектрометра вырезает эти кольца по диаметру.

В плоскости $E$ яркие точки имеют ординаты (Рис. 2). $$y=f \alpha_{К}=f \sqrt{2-\frac{K \lambda}{e}}. \tag{11}$$ Входная щель совпадает с $Oy$. Фотопластинка перпендикулярна дифрагированным лучам первого порядка с длиной волны $\lambda_{0}=5000~\overset{\circ}{\mathrm{A}}$. Для этого спектра считается, что решетка имеет постоянную дисперсию $$D=\frac{\mathrm d x}{\mathrm d \lambda}=0.346~мм/\overset{\circ}{\mathrm{A}}$$ В плоскости $A$ наблюдаются яркие точки с координатами (Рис. 3).$$x=D \lambda=\operatorname{const},~~~y=f \sqrt{2-\frac{K \lambda}{e}}. \tag{12}$$

C2  ^?? На интерферометр падают две монохроматические волны с длинами $\lambda$ и $\lambda+\mathrm d \lambda$, которые очень близки друг к другу. Найдите разность $\mathrm d y$ ординат двух максимумов, соответствующих одному и тому же порядку интерференции $K$. Выведите закон изменения значения $D'=\mathrm dy/\mathrm d \lambda$ дисперсии интерферометра.

Что произойдет с $D'$, если длина волны $\lambda$ будет стремиться к значению $\lambda_{К}$?

В этом случае имеем две монохроматические волны, $\lambda$ и $\lambda+\mathrm d\lambda$. Таким образом, в плоскости $E$ наблюдаются две концентрические системы колец и, следовательно, две серии ярких точек на входной щели. На пластинке видны две серии ярких точек, сдвинутых на $D \cdot \mathrm d \lambda$ (Рис. 4).

Вывод уравнения $(11)$ позволяет написать $$\mathrm d y=-f \frac{K}{2 e} \frac{1}{\sqrt{2-K \lambda / e}} \mathrm d \lambda \tag{13}$$ Величина $\mathrm d y$ соответствует промежутку между двумя точками, равному $Mm$. 

Из $(13)$ выводим формулу для дисперсии эталона: $$D'=\frac{\mathrm d y}{\mathrm d \lambda}=-f \frac{K}{2 e} \frac{1}{\sqrt{2-K \lambda / e}} \tag{14}$$
Видно, что наибольшая дисперсия получается для максимальных значений $K$, т. е. для колец малого диаметра. В пределе при $\lambda=\lambda_{K}=2 e / K$ дисперсия $D'$ становится бесконечной.

C3  ^?? Интерферометр освещается белым светом. Покажите, что ряд максимумов появляется на фотопластинке в виде линий, и запишите уравнение этих линий в системе координат $x O y$. Опишите природу этих кривых.

Найдите расстояние, которое отделяет точки пересечения двух последующих кривых с осью $Ox$ вблизи $\lambda=\lambda_{0}$ для $e=2~мм$.

Полосатые спектры

Если источник излучает все длины волн между $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$, то уравнение для линий максимальной освещенности в плоскости $x O y$ дается системой $(12)$. Исключая $\lambda$, находим выражение
$$y^{2}=f^{2}\left(2-\frac{K}{e} \frac{x}{D}\right). \tag{15}$$
Это яркие, очень четкие параболы с осью $O x$.
Изменяя $K$ на единицу, переходим от одной параболы к другой (Рис. 5).

Их вершины лежат на оси $O x$ и имеют абсциссы $$x=\frac{2 e}{K}D\tag{16}$$

Две последующие вершины разделены на $$\left|\Delta x\right|=\frac{2e}{K^2}D\cdot \Delta K=\frac{2 e}{K^{2}} \dot{D}=\frac{\lambda_{0}^{2}}{2 e} D=\frac{\left(5 \cdot 10^{3}\right)^{2} \cdot 0.346}{4 \cdot 10^{7}} \approx 0.2~мм.$$ Имеем $$для~\lambda_1=4500~\overset{\circ}{\mathrm{A}},\quad K_{\lambda_{1}}=2 e / \lambda_{1}=8888.8,$$ $$для~\lambda_{0}=5000\overset{\circ}{\mathrm{A}}, \quad K_{\lambda_{0}}=2 e / \lambda_{0}=8000.0,$$ $$для~\lambda_{2}=5500\overset{\circ}{\mathrm{A}},\quad K_{\lambda_{2}}=2 e / \lambda_{2}=7272.7.$$Тогда в поле зрения видно $\left(8888-7273\right)+1=1616$ «частей» парабол. Они вогнуты в сторону голубого цвета.

C4  ^?? Покажите, что разность ординат $y_{2}-y_{1}$ двух точек $M_{2}$ и $M_{1}$ с максимумами, соответствующими порядкам интерференции $K$ и $K-1$ для длины волны $\lambda$, может быть выражена в виде $$\Delta y=y_{2}-y_{1}=\frac{1}{y} \varphi(\lambda, f, e),$$ где $y$ – ордината, лежащая между $y_{2}$ и $y_{1}$. Считая, что разность $\Delta y$ мала, выведите выражение для разности ординат $\delta y$ двух точек, близких к точке $M_{1}$ на пластинке, для которых освещенность равна половине максимальной освещенности; при этом коэффициенты отражения $P$ и $Q$ предполагаются такими, что эффективное число интерферирующих лучей $N$ равно $30$.

Какова разрешающая сила $R'$ этой установки для длин волн вблизи $\lambda_{0}$? Сравните ее с разрешающей силой спектрографа с решеткой. Укажите, почему необходимо использовать спектрограф в сочетании с интерферометром Фабри–Перо.

Разрешающая сила интерферометра Фабри–Перо. Длина волны $\lambda$. Порядки $K$ и $K-1$. 

Пусть $\Delta y$ – расстояние между точками $M_{1}$ и $M_{2}$ (Рис. 4). Из выражения $(11)$ следует $$\Delta y=-f \frac{\lambda}{2 e} \frac{\Delta K}{\sqrt{2-K \lambda / e}}.$$ Если $|\Delta K|=1$, то $$\Delta y=-f \frac{\lambda}{2 e} \frac{1}{\sqrt{2-K \lambda / e}} \tag{17}$$ $$\Delta y=-\frac{1}{y} \frac{f^{2} \lambda}{2 e}=M_{2} M_{1} \tag{18}$$ Кольца сгущаются, если двигаться от центра к периферии (Рис. 6). 

Для длины волны $\lambda$ кольца порядков $K$ и $K-1$ представлены сплошными линиями. Для длины волны $\lambda+\mathrm d \lambda$ соответствующие кольца представлены пунктиром.

Рассмотрим монохроматическую волну длиной $\lambda$. Если 

• $\Delta y$ – расстояние между двумя последующими кольцами, а
• $\delta y$ – ширина колец, то мы имеем $$N=\frac{\Delta y}{\delta_{y}}. \tag{19}$$ Величина $N$ называется эффективным числом интерферирующих лучей. Ее значение $\pi \sqrt{\bar{R}} /(1-R)$ зависит только от коэффициента отражения пластин интерферометра Фабри – Перо. 

Если источник испускает две близкие длины волны, $\lambda$ и $\lambda+\mathrm d \lambda$, то говорят, что две точки $M_{1}$ и $M_{1}'$ разрешены, если расстояние $M_{1} M_{1}'=\mathrm dy$ больше чем $\delta y$ (Рис. 7):$$\mathrm d y \geqslant \delta y \tag{20}$$ 

Объединяя $(19)$ и $(20)$, получаем условие $$\mathrm d y \geqslant \frac{1}{N} \Delta y. \tag{21}$$ Взяв значения $\mathrm d y$ и $\Delta y$ из $(13)$ и $(17)$ и используя их в неравенстве $(21)$, получаем $$\frac{\lambda}{\mathrm d \lambda} \geqslant K N=30 K$$ Разрешающая сила интерферометра Фабри–Перо равна $$R'=KN.\tag{22}$$ Для длины волны $\lambda_{0}$ самый высокий порядок интерференции находится в центре: $K=8000$. Находим $$R'=30 \cdot 8000=24000 \approx \frac{R}{2}$$Дисперсионные оси интерферометра Фабри–Перо ($Oy$) и решетки ($Ox$) пересекаются. Таким образом, исключается всякая неоднозначность в спектральном анализе для случая, когда имеется перекрытие различных порядков интерференции в одной и той же точке оси $Oy$.