A1  ^?? Уравнения Френеля определяют коэффициенты отражения света в предположении, что магнитные проницаемости $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ диэлектрика равны магнитной проницаемости вакуума $\mu_{0}$. Что произойдет с этими уравнениями, если не принимать такого предположения?

Уравнения Максвелла для плоской волны дают следующее общее выражение, связывающее магнитное поле $H$ с электрическим полем $E$: $$H=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}} E.$$ При отражении и преломлении света на поверхности между двумя прозрачными средами уравнение непрерывности для компоненты электрического поля, нормальной к плоскости падения, имеет вид (Рис. 1).

$$E_{i}+E_{r}=E_{t},\quad следовательно,\quad 1+r=t;$$ $$\left(H_{i}-H_{r}\right) \cos i_{1}=H_{t} \cos i_{2},\quad откуда \quad \sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}} \left(1-r\right) \cos i_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}} t \cos i_{2}.$$ Выведенный коэффициент отражения $r_{\perp}$ равен $$r_{\perp}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{1} / \mu_{1}}}{\sqrt{\varepsilon_{1} / \mu_{1}}} \frac{\cos i_{1}-\sqrt{\varepsilon_{2} / \mu_{2}} \cos i_{2}}{\cos i_{1}+\sqrt{\varepsilon_{2} / \mu_{2}} \cos i_{2}} \tag{1}$$ и коэффициент пропускания $t_{\perp}$ равен $$t_{\perp}=\frac{2 \sqrt{\varepsilon_{1} / \mu_{1}} \cos i_{1}}{\sqrt{\varepsilon_{1} / \mu_{1}} \cos i_{1}+\sqrt{\varepsilon_{2} / \mu_{2}} \cos i_{2}}.$$ Находим выражения для коэффициентов в случае, когда поля $E$ находятся в плоскости падения\[\begin{array}{lll} r_{||}=\dfrac{\sqrt{\varepsilon_{2} / \mu_{2}} \cos i_{1}-\sqrt{\varepsilon_{1} / \mu_{1}} \cos i_{2}}{\sqrt{\varepsilon_{2} / \mu_{2}} \cos i_{1}+\sqrt{\varepsilon_{1} / \mu_{1}} \cos i_{2}}, \\ \tag{2} t_{||}=\dfrac{2 \sqrt{\varepsilon_{1} / \mu_{1}} \cos i_{1}}{\sqrt{\varepsilon_{2} / \mu_{2}} \cos i_{1}+\sqrt{\varepsilon_{1} / \mu_{1}} \cos i_{2}}. \end{array}\]

B1  ^?? Рассмотрите возможность появления линейной поляризации отраженного света вследствие отражения, если $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ отличны от $\mu_{0}$.

Падение под углом Брюстера приводит к исчезновению $r_{||}$. Это условие осуществляется при использовании выражений $(2)$ где $$\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}} \cos i_{\mathrm{I}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}} \cos i_{2}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}} \sqrt{1-\sin ^{2} i_{2}}$$ Используя закон преломления $$\frac{\sin i_{2}}{\sin i_{1}}=\frac{v_{2}}{v_{1}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{1} \mu_{1}}{\varepsilon_{2} \mu_{2}}}$$ и выражая $\sin i_{1}$ и $\cos i_{1}$ через $\operatorname{tg} i_{1}$, находим $$\operatorname{tg} i_{B}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}\left(\varepsilon_{2} \mu_{1}-\varepsilon_{1} \mu_{2}\right)}{\varepsilon_{1}\left(\varepsilon_{2} \mu_{2}-\varepsilon_{1} \mu_{1}\right)}}$$ При $\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{0}$ получаем $$\operatorname{tg} i_{B}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$$ что является обычным выражением для угла Брюстера. Из уравнения $(1)$ видно, что при принятых предположениях $r_{\perp}$ также может обратиться в нуль. Поступая как и раньше, находим, что это происходит при таком угле $i_{B}'$, когда

При обычных условиях, когда $\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{0}$, имеем $\operatorname{tg} i_{B}'=\sqrt{-1}$. Для колебания, перпендикулярного плоскости падения, угла Брюстера не существует.

C1  ^?? Покажите, что для диэлектрика в вакууме, где относительная диэлектрическая проницаемость $\varepsilon_{r}$ равна относительной магнитной проницаемости $\mu_{r}$, при нормальном падении света коэффициент отражения равен нулю.

В случае нормального падения уравнения $(1)$ и $(2)$ принимают вид $$r_{\perp}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{1} / \mu_{1}}}{\sqrt{\varepsilon_{1} / \mu_{1}}-\sqrt{\varepsilon_{2} / \mu_{2}}}+\sqrt{\varepsilon_{2} / \mu_{2}}=-r_{1}. \tag{3}$$ Так как $\varepsilon=\varepsilon_{0} \varepsilon_{r}$ и $\mu=\mu_{0} \mu_{r}$, а $\varepsilon_{r}=\mu_{r}$, то $r=0$. Заметим, что отношение $\sqrt{\mu / \varepsilon}$ является полным сопротивлением среды. Реализация уравнения $(3)$ на поверхности раздела двух сред эквивалентна ситуации при распространении радиоволн, когда имеется согласование импедансов при соединении двух линий передачи.