1  ^?? Найдите работу газа $A$ за цикл и КПД цикла $\eta$.

Качественно изобразим процесс на графике в привычных $(p, V)$ координатах (см. рисунок).

График состоит из четырёх политроп: процессу $a b$ соответствует линия $12$, $e f-23$, $c b-34$, $e d-41$. Также важно отметить, что точки $2$ и $4$ лежат на одной изотерме $\left(T_{2}=T_{4}=T_{b}\right)$.

Поскольку теплота, переданная газу в процессе с постоянной теплоёмкостью, равна $Q=C \Delta T$, то в координатах $C T$ теплота процесса численно равна площади под графиком. Из графика в условии видно, что на участках $12$ и $23$ тепло подводится, а на участках $34$ и $41$ - отводится. Найдём подведённую теплоту $Q+$ и отданную теплоту $Q_{-}$ :
$$
\begin{aligned}
Q_{+}=Q_{12}+Q_{23}=C_{a}\left(T_{2}-T_{1}\right)+C_{d}\left(T_{3}-T_{2}\right)=271.5~Дж.
\\
Q_{-}=Q_{34}+Q_{41}=-C_{a}\left(T_{3}-T_{2}\right)-C_{d}\left(T_{2}-T_{1}\right)=-243~Дж.
\end{aligned}
$$
По первому началу термодинамики полная теплота в цикле равна работе, совершённой газом:
$$
A=Q_{+}+Q_{-}=28.5~Дж, \quad \text { тогда } \quad \eta=\frac{A}{Q_{+}}=0.105.
$$

2  ^?? Определите значения температуры $T_{a}$, $T_{b}$ и $T_{c}$.

Из уравнения политропы и уравнения состояния идеального газа $p V / T = \text{const}$ следует связь между $T$ и $V$:
$$
T V^{n-1}= \text{const}, \quad \text { или } \quad\left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{\frac{1}{1-n}}=\frac{V}{V_{0}}
$$
Запишем уравнение выше для четырёх процессов:
$$
\begin{aligned}
&\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{\frac{1}{1-n_{a}}}=\frac{V_{1}}{V_{2}}, \quad\left(\frac{T_{2}}{T_{3}}\right)^{\frac{1}{1-n_{d}}}=\frac{V_{2}}{V_{3}},
\\
&\left(\frac{T_{3}}{T_{4}}\right)^{\frac{1}{1-n_{a}}}=\frac{V_{3}}{V_{4}}, \quad\left(\frac{T_{4}}{T_{1}}\right)^{\frac{1}{1-n_{d}}}=\frac{V_{4}}{V_{1}}.
\end{aligned}
$$
Перемножим все равенства:
$$
\left(\frac{T_{1} T_{3}}{T_{2} T_{4}}\right)^{\frac{n_{a}-n_{d}}{\left(1-n_{a}\right)\left(1-n_{d}\right)}}=1, \quad \text { откуда } \quad T_{1} T_{3}=T_{2} T_{4}=T_{2}^{2}.
$$
Запишем уравнение выше, используя $T_{2}=T_{1}+T_{0}$ и $T_{3}=T_{1}+3 T_{0}$, где $T_{0}=100~К$ :
$$
T_{1}\left(T_{1}+3 T_{0}\right)=\left(T_{1}+T_{0}\right)^{2}, \quad \text { откуда } \quad T_{1}=T_{0}
$$
Таким образом, получим $T_{1}=100~К, T_{2}=200~К$ и $T_{3}=400~К$.

3  ^?? Нарисуйте график цикла в координатах $(p, V)$ и определите количество вещества $\nu$.

Найдём связь между показателем политропы $n$ и теплоёмкостью $C$. Поскольку $p V / T= \text{const}$ и $p V^{n}=\text{const}$, то
$$
\frac{T}{V} V^{n}=T V^{n-1}=\text{const}.
$$
Дифференцируя уравнение выше, найдём $\Delta V$ и $\Delta T$ :
$$
V^{n-1} \Delta T+(n-1) T V^{n-2} \Delta V=0, \quad \text { откуда } \quad \Delta V=\frac{\Delta T}{1-n} \frac{V}{T}.
$$
Запишем первый закон термодинамики:
$$
\begin{gathered}
\Delta Q=C \Delta T=\Delta U+A=C_{V} \Delta T+p \Delta V=C_{V} \Delta T+p \frac{\Delta T}{1-n} \frac{V}{T},
\\
\left(C-C_{V}\right) \Delta T=\frac{\Delta T}{1-n} \frac{p V}{T}=\frac{\nu R \Delta T}{1-n}.
\end{gathered}
$$
Таким образом,
$$
n=1-\frac{\nu R}{C-C_{V}}=\frac{C-C_{p}}{C-C_{V}}.
$$
Прологарифмируем уравнение политропы, получим
$$
\ln \frac{p}{p_{0}}+n \ln \frac{V}{V_{0}}=\text{const},
$$
откуда следует, что в координатах $x y$, где $x=\ln V / V_{0}$, a $y=\ln p / p_{0}$, график политропы представляет прямую с наклоном $-n$, следовательно, график всего цикла будет параллелограммом, у которого точки $2$ и $4$ лежат на прямой $x+y=\text{const}$ (см. рисунок ниже).

Из условия $p_{1} / p_{3}=V_{1} / V_{3}$ находим, что точки $1$ и $3$ лежат на прямой $x-y=\text{const}$. Таким образом, диагонали параллелограмма перпендикулярны, следовательно, график цикла является ромбом. Поскольку диагональ $13$ ромба является биссектрисой, то углы наклона политроп в сумме дают $90^{\circ}$, откуда следует, что произведение угловых коэффициентов равно $1$:
$$
n_{a} n_{d}=\frac{C_{p}-C_{a}}{C_{a}-C_{V}} \cdot \frac{C_{p}-C_{d}}{C_{d}-C_{V}}=1,
$$
откуда
$$
C_{a}+C_{d}=C_{p}+C_{V}=\nu\left(c_{p}+c_{V}\right),
$$
где $c_{p}$ и $c_{V}$ - молярные теплоёмкости. Окончательно найдём
$$
\nu=\frac{C_{a}+C_{d}}{c_{p}+c_{V}}=34.4~ммоль.
$$
Заметим, что $C_{a}=\nu c_{v}$, а $C_{d}=\nu c_{p}$, следовательно, цикл процесса состоит из двух изобар и двух изохор (см. рисунок ниже).