A1  ^?? Начертите в плоскости, проходящей через диполь Герца, который ориентирован вдоль оси $z'Oz$, полярную диаграмму, изображающую величину электрического поля $E$ и поток излучения $\Phi$. Покажите, что поток можно представить в виде джоулева тепла, рассеиваемого переменным током, который проходит через диполь и имеет максимальное значение $I_{m}$. Подсчитайте возникающее при этом сопротивление (сопротивление излучения антенны). Выразите поле как функцию мгновенной интенсивности тока $I$.

Излучаемое электрическое поле на расстоянии $r$ от диполя Герца в направлении, образующем угол $\theta$ с осью диполя, определяется выражением $$E_{\theta}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} c^{2}} \frac{\omega^{2} d_{m} \sin \theta}{r} \sin \omega\left(t-\frac{r}{c}\right), \tag{1}$$ где $d_{m}$ – амплитуда диполя, колеблющегося по синусоидальному закону с угловой частотой $\omega$. Магнитное поле $H=\varepsilon_{0} c E_{\theta}$ соответствует полю $E_{\theta}$ электромагнитной волны.

Поток излучаемой энергии, который пересекает элемент поверхности, перпендикулярный направлению $O P$ на расстоянии $r$ от точки $O$, дается выражением $$\mathrm d \Phi=S \mathrm d \Sigma=E_{\theta} H \mathrm d \Sigma=\varepsilon_{0} c E_{\theta}^{2} \mathrm d \Sigma=\frac{\omega^{4} d_{m}^{2} \sin ^{2} \theta \mathrm d \Sigma}{16 \pi^{2} \varepsilon_{0} c^{3} r^{2}} \sin ^{2} \omega\left(t-\frac{r}{c}\right), \tag{2}$$ где $S=EH$ – вектор Пойнтинга, Рис. 1.

Полярная диаграмма для выражения $(1)$, изменяющаяся как $\sin \theta$, приведена на Рис. 2.

Полярная диаграмма для $(2)$, изменяющаяся как $\sin ^{2} \theta,$ – на Рис. 3.

Можно считать, что синусоидальный дипольный момент $d$ возникает благодаря двум осциллирующим зарядам $\pm q_{m} \sin \omega t$, разделенным малым промежутком $z$. Имеем $$d_{m} \sin \omega t=z q_{m} \sin \omega t$$ и эквивалентный ток $$I=\frac{\mathrm d q}{\mathrm d t}=\omega q_{m} \cos \omega t=I_{m} \cos \omega t$$ следовательно, $$z I_{m}=\omega d_{m} \tag{3}$$ Далее, суммарный поток, излучаемый в полном телесном угле, может быть получен интегрированием выражения $2$, где $\mathrm d \Sigma=2 \pi r^{2} \sin \theta\,\mathrm d \theta$, так что $$\Phi=\frac{\omega^{4} d_{m}^{2}}{6 \pi \varepsilon_{0} c^{3}} \sin ^{2} \omega\left(t-\frac{r}{c}\right)=\frac{\omega^{2} z^{2} I_{m}^{2}}{6 \pi \varepsilon_{0} c^{3}} \sin ^{2} \omega\left(t-\frac{r}{c}\right)$$ Мгновенная мощность записывается в виде джоулева тепла, так как она пропорциональна $I^{2}$. Тогда можно написать $\mathcal{D}=R I^{2}$, где $R$ – сопротивление излучения, определяемого уравнением $$R=\frac{\Phi}{I^{2}}=\frac{\omega^{2} z^{2}}{6 \pi \varepsilon_{0} c^{3}}=\frac{2 \pi}{3 \varepsilon_{0} c}\left(\frac{z}{\lambda}\right)^{2}=789\left(\frac{z}{\lambda}\right)^{2}~Ом$$ в котором использовано выражение для длины волны $\lambda=2 \pi c / \omega$.

B1  ^?? Рассмотрите линейную антенну, ориентированную вдоль $z'Oz$, имеющую длину немного меньшую, чем длина излучаемой волны, и изолированную на концах. При $l=\lambda /2$ выведите выражение для стационарного состояния тока, возникающего в антенне. Напишите выражение $I(z)$ для интенсивности тока в зависимости от ординаты $z$ точки на антенне. Выберите начало координат в центре антенны. Исходя из полученного в первой части задачи выражения для поля $E$, которое можно здесь считать описывающим величину $\mathrm d E$, излучаемую элементом длины антенны, найдите поле излучения на большом расстоянии $r_{0}$ от точки $O$ и начертите полярную диаграмму в плоскости, проходящей через $z'z$.

Реальная линейная антенна отличается от диполя Герца тем, что протекающий в ней высокочастотный ток не имеет одинаковых значений в каждой точке в данный момент и ее длина не мала по сравнению с излучаемой длиной волны. В расчетах антенну заменяют цепочкой диполей, момент каждого из которых зависит от расположения диполя и пропорционален интенсивности тока в точке его нахождения. Поле на больших расстояниях получается суммированием элементарных полей с учетом разностей фаз, производимых двумя точками, обсуждаемыми выше. В антенне, изолированной на концах, ток в этих точках в каждый момент времени обязательно равен нулю. Синусоидальный ток с угловой частотой ю, распространяющийся вдоль такого проводника, удовлетворяет этим условиям на концах и в стационарном состоянии дает стоячие волны. Интенсивность записывается в виде $$I=I_{m} \sin \omega t \sin \left(\frac{2 \pi z}{\lambda}+\varphi\right)=I_{0} \sin \left(\frac{2 \pi z}{\lambda}+\varphi\right)$$ где $I_{0}$ – интенсивность в центре $O$ антенны. Условия на концах: $I=0$ при $z= \pm \lambda/4$, так что $$I=I_{0} \cos 2 \pi \frac{z}{\lambda}$$ Используя $(3)$, из $(1)$ можно получить выражение для поля, излучаемого элементом антенны длиной $\mathrm dz$, и суммарное поле определяется выражением $$E=\frac{I_{m} \sin \theta}{2 \varepsilon_{0} c \lambda r} \int_{-\lambda / 4}^{+\lambda / 4} \cos \frac{2 \pi z}{\lambda} \,\mathrm d z \,\sin \omega\left(t-\frac{r}{c}\right) \tag{4}$$

Расстояние $r$ от элемента $\mathrm d z$, расположенного в точке $A$, где $O A=z$ (Рис. 4), до точки $P$, находящейся на расстоянии $r_{0}$, большем чем $\lambda$ и, таким образом, большем чем $OA$, в хорошем приближении описывается выражением $$r=r_{0}-z \cos \theta$$ которое, будучи подставлено в $(4)$, дает $$E=\frac{I_{0} \sin \theta}{2 \varepsilon_{0} c \lambda r_{0}} \int_{0}^{\lambda/4}\left[\sin \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}\right)+\sin \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}+\frac{z \cos \theta}{c}\right)\right] \cos \frac{2 \pi z}{\lambda} \mathrm d z$$ следовательно $$E=\frac{I_{0} \sin \theta}{\varepsilon_{0} \lambda \lambda r_{0}} \sin \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}\right) \int_{0}^{\lambda / 4} \cos \frac{2 \pi z}{\lambda} \cos \frac{2 \pi z \cos \theta}{\lambda} \mathrm d z$$ $$E=\frac{I_0\sin\theta}{\varepsilon_0 c \lambda r_0}\sin\omega\left(t-\frac{r_0}{c}\right) \left[\frac{\lambda}{2 \pi(1+\cos\theta)}\sin\frac{2\pi z}{\lambda}(1+\cos \theta)+\frac{\lambda}{2\pi(1-\cos\theta)}\sin\frac{2\pi z}{\lambda}(1-\cos \theta)\right]_0^{\lambda/4},$$ $$E=\frac{I_{0} \sin \theta}{2 \pi \varepsilon_{0} c r_{0}}\left\{\frac{\cos [(\pi / 2) \cos \theta]}{1+\cos \theta}+\frac{\cos [(\pi / 2) \cos \theta]}{1-\cos \theta}\right\} \sin \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}\right),$$ $$E=\frac{I_{0}}{2 \pi \varepsilon_{0} c r_{0}} \frac{\cos [(\pi / 2) \cos \theta]}{\sin \theta} \sin \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}\right)=60 \frac{I_{m}}{r_{0}} \frac{\cos [(\pi / 2) \cos \theta]}{\sin \theta} \sin \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}\right).$$ На Рис. 5 изображена полярная диаграмма излучения.

$$E=60 \frac{I_{m}}{r_{0}} \frac{\cos [(\pi / 2) \cos \theta]}{\sin \theta} \sin \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}\right)$$

C1  ^?? Рассмотрите длинную линейную антенну, образованную из $N$ сегментов длиной $\lambda / 2$, между которыми вставлены $N-1$ идентичных самоиндуктивностей пренебрежимо малых размеров и значение которых таково, что они вызывают сдвиг фазы тока на $\pi$. Установите направление излучения на полярной диаграмме в плоскости, проходящей через $z'z$.

Предлагаемая антенна эквивалентна набору $N$ последовательных антенн длиной $l=\lambda/2$; их токи находятся в фазе благодаря присутствию индуктивностей. Под углом $\theta$ разность хода между двумя последующими элементами равна $\lambda/ 2 \cos \theta$ (см. Рис. 4). Расчет результирующего поля осуществляется точно таким же образом, как и расчет дифракции для набора $N$ идентичных эквидистантных щелей, излучающих в фазе. Результирующее поле будет $$E=\frac{60 I_{0}}{r_{0}} \cdot \frac{\cos [(\pi / 2) \cos \theta]}{\sin \theta} \cdot \frac{\sin [(N \pi / 2) \cos \theta]}{\sin [(\pi / 2) \cos \theta]} \cdot \sin \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}\right).$$

На Рис. 6 изображены изменения величины $$\frac{\sin [(N \pi / 2) \cos \theta]}{\sin [(\pi / 2) \cos \theta]}$$ как функции угла $\theta$ для $N=10$. Заметим, что разница в этих относительно похожих диаграммах заключается в том, что в случае оптической решетки имеется только один главный максимум $(\theta=0)$, так как в этом случае период решетки равен $\lambda/2$. На Рис. 7 представлена полярная диаграмма излучения.