A1  ^?? Обсудите опыт Френеля с зеркалами с точки зрения электромагнитной теории. Можно рассматривать источник $S$ как осциллятор Герца, колеблющийся параллельно линии пересечения зеркал $\Delta$, и тогда изображения источников $S_{1}$ и $S_{2}$ действуют как синхронные осцилляторы с расстоянием $l$ между ними. Найдите электрическое поле, магнитное поле и вектор Пойнтинга результирующей электромагнитной волны в зависимости от $r, l$ и $\alpha$ в точке $P$ на плоскости, нормальной к $\Delta$, на расстоянии $C P=r_{0}$ от центра $C$ линии $S_{1} S_{2}$, где $r_{0}$ велико по сравнению с $l$ и образует с $l$ угол $\alpha$.

Изображения осциллятора $S_{1}$ и $S_{2}$ нормальны к плоскости рисунка, которая является для обоих экваториальной плоскостью.

Электрическое поле электромагнитной волны, испускаемой каждым из них, нормально к плоскости Рис. 2 в точке $P$ и дается выражением $$E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c^{2}} \frac{\omega d_{m}}{r_{0}} \sin \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}\right). \tag{1}$$ Поля $E_{1}$ и $E_{2}$, параллельные в точке $P$, имеют в этой точке разность фаз вследствие разности хода $\delta=\left|r_{2}-r_{1}\right|$. Если эта разность хода настолько невелика, что амплитудная разница из–за множителя $1/r$ пренебрежимо мала, то поля имеют одинаковую амплитуду $$a=\frac{\omega d_{m}}{4 \pi \varepsilon_{0} c^{2} r_{0}}.$$С другой стороны, можно считать $$\delta=l \cos \alpha,$$ откуда $$\varphi=\frac{2 \pi}{\lambda} l \cos \alpha$$ Результирующее поле $E$ можно получить суммированием двух параллельных колебаний с амплитудой $a$ и разностью фаз $\varphi$. Его интенсивность равна $$A^{2}=4 a^{2} \cos ^{2} \frac{\varphi}{2}.$$Таким образом, $$E=2 a \cos \frac{\pi l \cos \alpha}{\lambda} \sin \left(t-\frac{r_{0}}{c}\right). \tag{2}$$ Поле $H$ является результирующим для полей $H_{1}$ и $H_{2}$, которые находятся в фазе с полями $E_{1}$ и $E_{2}$ соответственно, так как расстояние $CP$ велико, и по этой же причине эти поля практически параллельны. Поскольку для электромагнитных плоских волн в вакууме $$H=\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} E,$$ из $(2)$ получаем $$H=2 a \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} \cos \frac{\pi l \cos \alpha}{\lambda} \sin \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}\right). \tag{3}$$ Вектор Пойнтинга равен $$S=E \cdot H=4 a^{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}} \cos ^{2} \frac{\pi t \cos \alpha}{\lambda} \sin ^{2} \omega\left(t-\frac{r_{0}}{c}\right).$$

А2  ^?? Световой источник, который будет сравниваться с осциллятором Герца, помещается в центре $O$ линии $I'I$, соединяющей два маленьких плоских диэлектрических зеркала $M$ и $M'$ (Рис. 1). Нормали к зеркалам $I N$ и $I' N'$ образуют с $I I'$ одинаковые углы $\pi/4-\varepsilon$ ($\varepsilon$ – очень малый угол). Качественно обсудите возможность интерференции между отраженными лучами в каждом из следующих случаев 

• диполь колеблется вдоль $z'z$;
• диполь колеблется вдоль $y'y$, нормально к плоскости рисунка;
• оба указанных выше диполя считаются идентичными, синхронными и когерентными. Исследуйте состояние поляризации в поле интерференции.

Считайте, что телесные углы, под которыми видны зеркала $M$ и $M'$ из точки $O$, очень малы, и пренебрегите разницей в коэффициентах отражения для двух главных колебаний.

Так как зеркала дают изображения точки $O$, разделенные очень малым угловым расстоянием, то можно считать, что излучение от точки $O$ образует квазипараллельный пучок лучей. Электрические поля испущенных волн параллельны диполю и, таким образом, находятся либо в плоскости падения на зеркала, либо нормальны к ней.

При угле падения, близком к $\pi/4$ и меньшем, чем угол Брюстера для всех диэлектриков, колебания, параллельные $z'z$ или $y'y$, подвергаются при отражении фазовому опережению на $\pi$. Эта схема показана на Рис. 3.

Если отраженные пучки объединяются, что происходит на больших расстояниях от точки $O$, то на оси $z'z$ имеет место интерференция с усилением для колебаний, параллельных $y'y$, и интерференция с ослаблением для колебаний, испущенных из точки $O$ параллельно $z'z$ (они практически антипараллельны в точке их объединения и направлены вдоль $x'x$). Если двигаться от центра интерференционного поля параллельно $x'x$, то колебания, параллельные $y'y$, записываются в виде $$E_{y}'=E_{m}\cos \omega t, \quad E_{y}''=E_{m}\cos (\omega t+\varphi).$$ Здесь $\varphi$ представляет собой разность фаз, обусловленную разностью хода, которая изменяется линейно как функция переменной $x$. Результирующая амплитуда равна $$E_{y}=2 E_{m} \cos \frac{\varphi}{2} \cos \left(\omega t+\frac{\varphi}{2}\right).\tag{4}$$ Колебания, испущенные параллельно $z'z$, равны $$E_{x}'=E_{m} \cos \omega t$$ $$E_{x}''=E_{m} \cos (\omega t+\pi+\varphi)$$ Амплитуда $E_{m}$ – та же, что и прежде, так как коэффициенты отражения считаются равными. Результирующая амплитуда равна $$E_{x}=2 E_{m} \sin \frac{\varphi}{2} \sin \left(\omega t+\frac{\varphi}{2}\right).\tag{5}$$ Колебания $(4)$ и $(5)$ перпендикулярны друг другу, и отношения их амплитуд изменяются с $\varphi$, т. е. с положением точки наблюдения вдоль линии, параллельной $x'x$. В каждой точке компоненты дают эллиптически поляризованное колебание, причем оси эллипса параллельны $y'y$ и $x'x$ и имеют изменяющиеся размеры, соответственно равные $2 E_{m} \cos \varphi/2$ и $2 E_{m} \sin \varphi/2$. Все эти эллипсы могут быть вписаны в квадрат со стороной $E_{m} \sqrt{2}$ (Рис. 4).

При $\varphi=0$ эллипс вырождается в линию, параллельную $Y$, при $\varphi=\pi$ – в линию, параллельную $X$, и при $\varphi=\pi/2$ и $\varphi=3\pi/2$ мы получаем окружности.

Если взять компоненты колебаний во второй степени, то результирующая интенсивность будет равна $$I=E_{y}^{2}+E_{x}^{2}=4 E_{m}^{2}.$$ Эта величина постоянна. В отсутствие анализатора интерференционное поле равномерно освещено.

В отсутствие анализатора интерференционное поле равномерно освещено.

В1  ^?? Световой источник $O$ состоит из набора беспорядочно ориентированных осцилляторов Герца. Напишите выражение для электрического поля $E$ и его компонент $E_{x}$ и $E_{z}$ как функцию угловых координат $\theta$ и $\varphi$ на большом расстоянии от точки $O$ для излучения, испускаемого источником:

• в направлении $O y$;
• в направлении $Oy'$, образующем угол $\gamma$ с $Oy$ на плоскости $x O y$. 

Рассчитайте контрастность полос, получаемых в результате интерференции излучений, испускаемых вдоль $Oy$ и вдоль $Oy'$, в зависимости от $\gamma$.

Пусть $\theta$ и $\varphi$ (Рис. 5) – углы, определяющие ориентацию диполя $OD$ в прямоугольной системе координат $Oxyz$. Для наблюдателя, находящегося на оси $Oy$, электрическое поле волны, испущенной диполем, пропорционально $\sin \psi$, где $\psi$ – угол $DOy$.

Поле $E$ находится в плоскости $xOz$, так как свободная электромагнитная волна поперечна. Его компонентами являются $$E_{x}=E \sin \theta \cos \varphi, \quad E_{z}=E \cos \theta.$$ В направлении $Oy'$, которое образует угол $\gamma$ с $Oy$, электрическое поле находится в плоскости $x'Oz$ (направление $Ox'$ нормально к $Oy'$), и его компоненты имеют вид $$E_{x}'=E \sin \theta \cos (\varphi \pm \gamma), \quad E_{z}'=E \cos \theta$$ Колебания $E_{x}$ и $E_{x}'$ могут интерферировать так же, как $E_{z}$ и $E_{z}'$. Однако первые не интерферируют со вторыми, так как они взаимно перпендикулярны. Поля, создаваемые различными некогерентными диполями, не интерферируют. Максимумы интенсивности определяются выражением $$I_{M}=\sum\left\{\left(E_{x}'+E_{x}\right)^{2}+\left(E_{z}+E_{z}'\right)^{2}\right\}$$ (суммирование ведется по всем диполям), и минимумы даются выражением $$I_{M}=\sum\left\{\left(E_{x}-E_{x}'\right)^{2}+\left(E_{z}-E_{z}'\right)^{2}\right\}$$ Определяя контрастность как $$\Gamma=\frac{I_{M}-I_{m}}{I_{M}+I_{m}}$$ получаем $$\Gamma=\frac{\sum\left\{2\left(E_{x} E_{x}'+E_{z} E_{z}'\right)\right\}}{\sum\left(E_{x}^{2}+E_{x}'^2+E_{z}^{2}+E_{z}'^2\right)}=\frac{N}{D}.$$ Теперь необходимо принять во внимание случайную ориентацию диполей, оси которых равномерно распределены по всем элементам телесного угла $\mathrm d\Omega=\sin \theta \,\mathrm d \theta\,\mathrm d \varphi$. Суммы $N$ и $D$ заменяются интегралами: $$N=2\int_{\varphi=0}^{2\pi}\mathrm d\varphi \int_{\theta=0}^{\pi/2}\mathrm d \theta\left(E_{x} E_{x}'+E_{z} E_{z}'\right)=\int_{\varphi=0}^{2 \pi}\cos(\varphi \pm\gamma) \cos \varphi\,\mathrm d \varphi\int_{\theta=0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta \,\mathrm d\theta+2\int_{\varphi=0}^{2 \pi}\mathrm d \varphi \int_{\theta=0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta \sin \theta\,\mathrm d \theta.$$ Однако $$ \begin{gathered} \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{3} \theta\, \mathrm d \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi / 2}(1-\cos 2 \theta) \sin \theta\, \mathrm d \theta= \\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi / 2}\left(2 \cos ^{2} \theta-1\right) \sin \theta \,\mathrm d \theta=\frac{2}{3} \\ \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta \sin \theta \,\mathrm d \theta=\int_{0}^{\pi / 2} \mathrm d\left(-\frac{\cos ^{3} \theta}{3}\right)=\frac{1}{3} \\ N=\frac{4}{3} \int_{0}^{2 \pi} \cos (\varphi \pm \gamma) \cos \varphi \,\mathrm d \varphi+\frac{4 \pi}{3}= \\ =\frac{4}{3} \int_{0}^{2 \pi} \cos \gamma \cos ^{2} \varphi \,\mathrm d \varphi \mp \int_{0}^{2 \pi} \sin \gamma \sin \varphi \cos \varphi\, \mathrm d \varphi+\frac{4 \pi}{3}, \\ N=\frac{4 \pi}{3}(1+\cos \gamma) \end{gathered}$$ $$D=\int_{\varphi=0}^{2\pi} \mathrm d \varphi \int_{\theta=0}^{\pi / 2}\left\{\sin ^{2} \theta\left[\cos ^{2} \varphi+\cos ^{2}(\varphi \pm \gamma)\right]+2 \cos ^{2} \theta\right\} \sin \theta\, \mathrm d \theta=\int_{\varphi=0}^{2 \pi}\left[\cos ^{2} \varphi+\cos ^{2}(\varphi \pm \gamma)\right]\mathrm d \varphi \int_{\theta=0}^{\pi / 2} \sin ^{3} \theta \,\mathrm d \theta+2 \int_{\varphi=0}^{2 \pi} \mathrm d \varphi \int_{\theta=0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta \sin \theta \,\mathrm d \theta $$ Последний интеграл рассчитывался ранее. Так как $$\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{3} \theta \,\mathrm d \theta=\frac{2}{3},$$ $$D=\frac{2}{3} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \varphi\, \mathrm d \varphi+\frac{2}{3} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2}(\varphi \pm \gamma) \,\mathrm d(\varphi \pm \gamma)+\frac{4 \pi}{3}=\frac{4 \pi}{3},$$ тогда $$\Gamma=\frac{N}{D}=\frac{1+\cos \psi}{2}.$$ При $\gamma=0$ имеем $\Gamma=1$. Опыты Френеля с зеркалами аппроксимируют этот случай, так как при этом происходит интерференция волн, испускаемых единственным источником вдоль приблизительно параллельных направлений. При $\gamma=\pi$ получаем $\Gamma=0$. Наконец, при $\gamma=\pi / 2$ имеем $\Gamma=1/2$.