A1  ^?? Рассчитайте поток, испускаемый одним квадратным метром солнечной поверхности, считая, что она излучает по закону Ламберта. Вспомним, что кажущийся угловой диаметр Солнца, видимый с Земли, равен $2 \alpha=32'$.

Солнце излучает согласно закону Ламберта, и его яркость $\mathscr{L}$ постоянна. Поток, испускаемый элементом солнечной поверхности $\mathrm d S$ в телесном угле $\mathrm d \Omega$, ось которого образует угол $\theta$ с нормалью к $\mathrm d S$, равен $$\mathrm d^{2} \Phi=\mathscr{L} \,\mathrm d S \cos \theta\, \mathrm d \Omega \tag{1}$$

Принимая за $\mathrm d \Omega$ телесный угол, лежащий между двумя конусами с вершиной на $\mathrm d S$, осью, нормальной к $\mathrm d S$, и апертурой $2 \theta$ (Рис. 1), имеем $$\mathrm d^{2} \Phi=\mathscr{L}\, \mathrm d S \cos \theta 2 \pi \sin \theta \,\mathrm d \theta$$ Поток, излучаемый элементом $\mathrm d S$ во внешнее пространство, равен $$ \begin{gathered} \mathrm d \Phi=\pi \mathscr{L} \,\mathrm d S \int_{0}^{\pi / 2} 2 \sin \theta \cos \theta\, \mathrm d \theta=\pi \mathscr{L} \,\mathrm d S \int_{0}^{\pi / 2} 2 \sin \theta \,\mathrm d(\sin \theta), \\ \mathrm d \Phi=\pi \mathscr{L} \,\mathrm d S\left[\sin ^{2} \theta\right]_{0}^{\pi / 2}=\pi \mathscr{L} \,\mathrm d S. \end{gathered} $$ Отношение $\mathrm d \Phi / \mathrm d S=B$ представляет собой светимость, или излучательную способность, поверхности. Для излучателя, который подчиняется закону Ламберта, имеем $$B=\pi \mathscr{L}. \tag{2}$$ Заметим, что сфера, которая излучает по закону Ламберта, эквивалентна плоскому диску, множитель $\cos \theta$ в $(1)$ точно компенсирует наклон поверхности, отсчитываемый от нормали. Именно таким образом и видно Солнце. Поток $(1)$, испускаемый Солнцем и падающий по нормали к поверхности $\mathrm d S'$ Земли на расстоянии $r$ от Солнца, может быть записан как $$\mathrm d^{2} \Phi=\mathscr{L} \,\mathrm d S\, \frac{\mathrm d S^{'}}{r^{2}}$$ Создаваемая освещённость по определению равна $$\mathrm d \mathscr{E}=\frac{\mathrm d^{2} \Phi}{\mathrm d S'}=\mathscr{L} \frac{\mathrm d S}{r^{2}}.$$ Освещенность, создаваемая солнечным диском, который виден под углом $$\frac{s}{r^{2}}=\pi \alpha^{2}$$ равна $$\mathscr{E}=\mathscr{L}\pi a^{2}$$ Таким образом, светимость Солнца имеет величину $$B=\pi \mathscr{L}=\frac{\mathscr{E}}{a^{2}}=\frac{1.35 \cdot 10^{3}}{\left(16 \cdot 3 \cdot 10^{-4}\right)^{2}}=5.8 \cdot 10^{7}~Вт/м^{2}.$$

B1  ^?? Рассчитайте потерю солнечной массы в секунду за счет излучения, считая расстояние Земли от Солнца равным $5 \cdot 10^{7}~км.$

Исходя из соотношения между массой и энергией, можно написать $$\Delta m=\frac{\Delta W}{c^{2}},$$ где $c$ – скорость света в вакууме. Можно рассчитать суммарную мощность, теряемую Солнцем, учитывая, что она равна мощности, получаемой единичной площадью поверхности Земли, умноженной на площадь поверхности сферы с радиусом, равным расстоянию от Земли до Солнца, т.е. $$\Phi=1.35 \cdot 10^{3} \cdot 4 \pi \cdot(15)^{2} \cdot 10^{20}=3.815 \cdot 10^{26}~Вт$$ Следовательно, потеря массы в секунду равна $$\Delta m=\frac{\Phi}{c^{2}}=\frac{3.815 \cdot 10^{26}}{\left(3 \cdot 10^{8}\right)^{2}}=4.24 \cdot 10^{9}кг,$$ что соответствует годовой потере в $1.4 \cdot 10^{13}~т.$ Однако масса Солнца равна $2 \cdot 10^{27}~т.$

что соответствует годовой потере в $$1.4 \cdot 10^{13}~т.$$

C1  ^?? Будем считать, что поверхность Земли равномерно рассеивает долю $\rho$ падающего потока излучения. Рассчитайте яркость Земли.

Площадь поверхности Земли, которая получает поток $\mathrm d \Phi$, вновь излучает в пространство поток $\mathrm d \Phi'=\rho \,\mathrm d \Phi$. Таким образом, светимость Земли равна $$B'=\frac{\mathrm d \Phi'}{\mathrm d S'}=\rho \frac{\mathrm d \Phi}{\mathrm d S'}=\rho \mathscr{E}$$ и ее яркость будет $$\mathscr{L}'=\frac{\rho}{\pi} \mathscr{E}.$$

D1  ^?? Рассчитайте амплитуду электрического и магнитного полей на поверхности Земли, обусловленных облучением.

Средняя освещенность, создаваемая плоской электромагнитной волной, связана с амплитудой электрического поля соотношением $$\langle\mathscr{E}\rangle=\varepsilon_{0} c \frac{E_{m}^{2}}{2}$$ отсюда $$E_{m}^{2}=\frac{2\langle\mathscr{E}\rangle}{\varepsilon_{0} c}=\frac{2 \cdot 1.35 \cdot 10^{3} \cdot 36 \pi \cdot 10^{9}}{3 \cdot 10^{8}}=101.8 \cdot 10^{4}, $$ $$E_{m}=1010~В/м.$$ Магнитное поле волны имеет амплитуду $$H_{m}=\frac{1}{c \mu_{0}} E_{m}=\frac{1010}{3 \cdot 10^{8} \cdot 1.26 \cdot 10^{-6}}=2.7~А/м.$$