В керлинге участники по очереди запускают к мишени (дому) почти цилиндрические камни. Камни скользят по льду, а цель — подвести свои камни как можно ближе к мишени и не дать этого сделать сопернику. Ниже показано вертикальное сечение камня, на котором видно, что он соприкасается со льдом тонким кольцом радиуса $r$. Внешний радиус камня равен $R$, масса камня — $m$, а коэффициент трения по льду — $\mu$.

Рассмотрим случай, когда камню сообщают скорость $v_{0}$ и хотят выбить камень соперника, который находится на расстоянии $s$.

i  ^1.00 Как зависит скорость скольжения $v_{s}$ от времени $t$, прошедшего с момента броска камня до его попадания в камень соперника.

ii  ^1.00 Найдите скорость скольжения $v_{\text {hit }}$ непосредственно перед ударом камня о камень соперника?

Теперь камню придается небольшое вращение с начальной угловой скоростью $\omega_{0}$ (это может быть сделано для изменения угла отклонения камня при ударе о камень противника). Предположим, что скорость вращения $\omega$ остается малой на протяжении всего скольжения: $\omega r \ll v_{s}$. При вычислениях можно оставлять только основные ненулевые слагаемые: т.е. для слагаемых вида $\left(\omega r / v_{s}\right)^{n}$ можно сохранить только слагаемое с наименьшим $n$.

Математическая справка:

• $x \ll 1$: $(1+x)^{\alpha} \approx 1+\alpha x+\frac{1}{2} \alpha(\alpha-1) x^{2}$,
• $\sin (\alpha+x) \approx\sin \alpha+x \cos \alpha$,
• $\cos x \approx 1-x^{2} / 2$,
• $\int(a t+b)^{-1} d t=a^{-1} \ln \mid a t+$ $b \mid+C$.

iii  ^2.00 На сколько изменится сила трения, действующая на камень, если он вращается? Выразите ответ через мгновенную угловую скорость $\omega$ и скорость скольжения $v_{s}$.

iv  ^2.00 Найдите момента сил $\tau$, действующий на камень.

v  ^2.00 Найдите угловую скорость камня перед ударом о камень соперника?