Рассмотрим так называемый метод астрометрических колебаний для обнаружения экзопланет. Из-за гравитационного влияния планет, обращающихся вокруг звезды, ее положение изменяется. Регистрация этих изменений и лежит в основе метода, который стал возможен благодаря созданным более точным приборам.

i  ^2.50 Рассмотрим систему, состоящую из звезды, внутренней планеты $A$ и внешней планеты $B$. Ниже приведена траектория центра звезды в плоскости, перпендикулярной линии наблюдения. Данные снимались в течение $t=10~лет$. Во всех частях задачи можно считать, что обе планеты вращаются по круговым орбитам в плоскости рисунка. Найдите периоды обращения $T_{A}$ и $T_{B}$ этих двух планет?

ii  ^2.50 При наблюдении за планетой $A$ в инфракрасном диапазоне был определен радиус ее орбиты — $a_{A}=$ $1.5~а.е.=2.2 \times 10^{8}~км$. Найдите массу $M$ звезды и массу $m_{A}$ планеты $A$? Гравитационная постоянная равна $G=6.67 \times 10^{-11}~м^3/(кг\cdot с^2)$.

iii  ^1.00 Найдите массу $m_{B}$ планеты $B$?

iv  ^2.00 Рассмотрим аналогичные данные наблюдений за другой системой, показанной ниже. Данные собраны за $t=10~лет$. Система также состоит из звезды и двух планет $A$ и $B$ (где $A$ — внутренняя планета). Найдите массу $M$ звезды и массы $m_{A}, m_{B}$ планет в этой системе. Дополнительные исследования позволили также определить радиус орбиты планеты $A$ — $a_{A}=1.3~а.е.=2.0 \times 10^{8}~км$.