1  ^?? Найдите установившуюся угловую скорость $\omega_{\mu}$ вращения диска, если трение между валиком и диском сухое.

Сила трения меняет знак на расстоянии $r_{0}=\omega_{0} R_{0} / \omega$ от центра диска. В установившемся режиме полный момент силы трения, действующей на диск, равен нулю.
В случае сухого трения $F_{тр}=F=\operatorname {const}$:
$$
\int_{0}^{r_{0}} \frac{r F}{R} d r=\int_{r_{0}}^{R_{0}} \frac{r F}{R} d r, \quad \frac{r_{0}^{2}}{2}=\frac{R^{2}-r_{0}^{2}}{2},
$$
откуда
$$
r_{0}=\frac{R}{\sqrt{2}}, \quad \omega_{\mu}=\sqrt{2} \omega_{0} \frac{R_{0}}{R}.
$$
В случае вязкого трения $F_{тр}=\beta v_{отн}$, и момент сил трения:
$$
\int_{0}^{R} r \beta\left(\omega r-\omega_{0} R_{0}\right) d r=0,
$$
так как $\omega r_{0}=\omega_{0} R_{0}$, то
$$
\int_{0}^{R} r \beta\left(\omega r-\omega r_{0}\right) d r=\beta \omega \int_{0}^{R} r\left(r-r_{0}\right) d r=0,
$$
откуда
$$
\frac{R^{3}}{3}=\frac{R^{2} r_{0}}{2}, \quad \omega_{\eta}=\frac{\omega_{0} R_{0}}{r_{0}}=\frac{3}{2} \omega_{0} \frac{R_{0}}{R}.
$$
Отношение скоростей:
$$
k=\frac{\omega_{\eta}}{\omega_{\mu}}=\frac{3 / 2}{\sqrt{2}} \approx 1.06
$$
Таким образом, установившаяся скорость $\omega_{\eta}$ вращения в случае вязкого трения на $6 \%$ больше установившейся скорости $\omega_{\mu}$ вращения диска при сухом трении.

2  ^?? Найдите установившуюся угловую скорость $\omega_{\eta}$ вращения диска, если трение вязкое. Считайте, что величина силы вязкого трения, приходящаяся на единицу длины соприкосновения, пропорциональна относительной скорости движения соприкасающихся поверхностей валика и диска.

3  ^?? Определите отношение $k=\omega_{\eta} / \omega_{\mu}$.