A1  ^?? Вспомните выражения для отражения и пропускания монохроматичного параллельного пучка света, падающего из вакуума на поверхность плоской изотропной преломляющей среды с показателем преломления $n$. Обозначим через $r_{n}$ и $r_{p}$ амплитудные коэффициенты отражения, где индекс $p$ соответствует случаю, когда колебания будут параллельны плоскости падения, и индекс $n$ – случаю, когда они нормальны к этой плоскости. Соответствующие коэффициенты пропускания обозначим через $t_{p}$ и $t_{n}$.

B1  ^?? Примените результаты задания A1 к следующим двум заданиям. Стеклянная призма $A$, угол при вершине которой равен $60^{\circ}$, имеет для исследуемого излучения показатель преломления $1.52$. На грань $AB$ призмы падает параллельный монохроматичный пучок этого излучения, который перпендикулярен стороне $A$ и направлен под таким углом, что отклонения от пучка, выходящего из грани со стороной $AC$, минимальны. Падающий пучок линейно–поляризован так, что его колебания составляют угол $45^{\circ}$ с плоскостью падения. Чему равен угол, образованный выходящими колебаниями с плоскостью падения?

Мы имеем см. Рис. 1. $$n \sin \frac{A}{2}=\sin \frac{D+A}{2} \quad и \quad D=2 i-A, \quad r=\frac{A}{2}=30^{\circ},$$ $$\sin \frac{D+A}{2}=1.52 \cdot 0.500=0.760, \quad \frac{D+A}{2}=49^{\circ} 28'=i.$$ Используем соответствующее выражение $$\operatorname{tg} \alpha_{t}=\cos (i-r) \operatorname{tg} a_{i}, \quad \alpha_{i}=45^{\circ}, \quad \operatorname{tg}c=1$$ Пучок выходит из грани под тем же углом $$\operatorname{tg} \alpha_{t}=\cos ^{2}(i-r)$$ $$i-r=49^{\circ} 28'-30^{\circ}=19^{\circ} 28', \quad \cos (i-r)=0.94293$$ $$\cos ^{2}(i-r)=0.88912$$ $$\alpha_{t}=41^{\circ} 39'.$$

C1  ^?? Каким образом необходимо изменить угол $BAC$ призмы и поляризацию падающего света, чтобы при отражении пучка на входе и выходе в стеклянной призме не было световых потерь?

Коэффициент отражения равен нулю для колебаний в плоскости падения при угле Брюстера. Следовательно, необходимо сделать падающий пучок поляризованным так, чтобы направление колебаний было нормальным к плоскости падения, а угол падения таким, чтобы $\operatorname{tg} i_{B}=n$, отсюда $$i_{B}=56^{\circ} 40'$$ Чтобы пучок выходил под углом Брюстера, необходимо выполнение условия $\hat{A}'=2 \hat{r}$. Таким образом, $$\sin r =\cos i_{B}, \quad r=90^{\circ}-i_{B}=33^{\circ} 20'$$ $$A'=66^{\circ} 40',\quad A'-A =+6^{\circ} 40'.$$

D1  ^?? Теперь будем считать, что призма сделана из исландского шпата; она тщательно вырезана таким образом, что сечение $ABC$ представляет собой равносторонний треугольник, где грань $BC$ – плоская и полированная. Ось кристалла параллельна плоскости $ABC$. Покажите, что параллельный пучок линейно–поляризованного монохроматического света, падающий нормально на грань $AB$ и распространяющийся с направлением колебаний, составляющим угол $45^{\circ}$ с плоскостью $ABC$, полностью отражается на грани $BC$, но на выходе из призмы на грани со стороной $AC$ он эллиптически поляризован. Пренебрегите потерями при отражении на входе и выходе из призмы, так как они малы вблизи нормального падения, и укажите, как выходящие эллиптически поляризованные колебания зависят от высоты $h$ треугольника $ABC$ и от двух главных показателей преломления шпата $n_{0}=1.65$ и $n_{e}=1.48$.

Падение в точке $I$ происходит под углом $60^{\circ}$ (Рис. 2a), следовательно, $\sin i=0.866$ больше, чем $1/n_{e}=0.675$ и $1/n_{0}=0.606$.

Таким образом, происходит полное внутреннее отражение. Обыкновенная и необыкновенная волны распространяются нормально к оси, так что отраженные обыкновенный и необыкновенный лучи смешаны на выходе. Однако они поляризованы: обыкновенный луч – в плоскости главного сечения, необыкновенный – нормально к этой плоскости. Так как колебания когерентны на входе, где одно главное направление призмы параллельно, а другое перпендикулярно стороне, двойное лучепреломление приводит к появлению разности $n_{0}-n_{e}$. Пройденное расстояние $h \sin 30^{\circ}=h / 2$. Известно, что при $\alpha=45^{\circ}$ эллипс ориентирован так, что его оси направлены под углом $45^{\circ}$ к осям призмы (при описании явлений в одноосном кристалле автор применяет термин «оптические оси» или оси, под которыми подразумеваются оси эллипсоида диэлектрической постоянной, определяющие главные направления кристалла), и отношение его осей равно такому $\operatorname{tg} \beta$, что $\operatorname{tg} 2 \beta=\operatorname{tg} \varphi$ (Рис. 2б):$$\varphi=\frac{2 \pi}{\lambda}\cdot \frac{h}{2}\cdot \left(n_{0}-n_{e}\right)=\frac{\pi h}{\lambda} \cdot 0.17$$

E1  ^?? Наконец, будем считать, что ось кристалла нормальна к входной грани со стороной $AB$, т.е. параллельна падающему пучку. Покажите, что тогда на выходе из призмы имеются два различных пучка, которые отразились от $BC$. Определите направление каждого из выходящих пучков и укажите, с какими направлениями колебаний они распространяются.

Падающие лучи не подвергаются двойному лучепреломлению вплоть до точки на $BC$ (Рис. 3).

Они полностью отражаются при угле $60^{\circ}$, т.е. в направлении, образующем угол $\theta=60^{\circ}$ с оптической осью. Нормали к отраженным волнам остаются смешанными, но для одной волны показатель преломления равен $n_{0}$, а для другой равен такому $n$, что $$\frac{n^{2} \sin ^{2} \theta}{n_{e}^{2}}+\frac{n^{2} \cos ^{2} \theta}{n_{0}^{2}}=1$$ $$n^{2}\left(\frac{3}{4 \cdot 2.19}+\frac{1}{4 \cdot 2.72}\right)=1=n^{2} \frac{1}{0.434}$$ $$n^{2}=2.304, \quad n=1.517$$ Соответствующие лучи разделены: обыкновенный луч, направление которого совпадает с волновой нормалью, падает на грань со стороной $AC$ под прямым углом и выходит без отклонений. Его колебание нормально к плоскости рисунка. Необыкновенный луч образует с обыкновенным лучом угол, который определяется выражением $$\operatorname{tg} \zeta=\frac{\left(n_{e}^{2}-n_{0}^{2}\right) \operatorname{tg} \theta}{n_{e}^{2}+n_{0}^{2} \operatorname{tg}^{2} \theta}=\frac{(2.19-2.72) 1.732}{2.19+2.72 \cdot 3}=-0.088,$$ $$\zeta=-5^{\circ}3'$$ Знак минус означает, что необыкновенный луч образует угол $54^{\circ} 58'$ с нормалью к $BC$. Угол падения на $AC$ равен $\zeta$ и угол отражения равен $$\sin i_{e}=1.517 \cdot \sin 5^{\circ} 3'=1.517 \cdot 0.0877=0.1335$$ $$i_{e}=7^{\circ} 40'$$