A1  ^?? На каком расстоянии от центральной полосы будут находиться точки $P$ и $Q$, в которых фокусируется излучение с длинами волн $\lambda_{1}=0.6~мкм$ и $\lambda_{2}=0.7~мкм$?

Параллельный пучок света, который пересекает по нормали одноосную двоякопреломляющую пластинку с параллельными гранями, вырезанную параллельно оси, остается параллельным и не раздваивается.

Действительно, нормали к обыкновенной и необыкновенной волнам совпадают внутри кристалла, и в данном случае совпадают с лучами, так как нормаль к необыкновенной волне находится в экваториальной плоскости эллипсоида показателей преломления (Рис. 1).

Таким образом, свет падает на решетку по направлению нормали. Главный максимум в первом порядке дифракции для излучения с длиной волны $\lambda$, дифрагированного под углом $i_{1}$ к оси, определяется выражением: $$\sin i_{1}=\frac{\lambda}{d},$$ где $d$ – период решетки. В данном случае $d=2~мкм$ и $$\lambda=0.6~мкм, \quad \sin i_{1}=\frac{0.6}{2}=0.30,\quad i_{1}=17^{\circ} 27'30''$$ $$\lambda'=07~мкм, \quad \sin i_{1}'=\frac{0.7}{2}=0.35, \quad i_{1}'=20^{\circ} 29'15''.$$ Расстояния от этих двух изображений до центрального изображения $(i=0)$ равны соответственно $$r_{1}=f \operatorname{tg} i_{1}=0.314~м, \quad r_{1}'=f \operatorname{tg} i_{1}'=0.373~м.$$ Имеются два спектра в первом порядке дифракции, симметричных относительно центрального изображения.

B1  ^?? В точках $P$ и $Q$ имеются темные полосы, и мы наблюдаем сорок одну полосу между этими двумя точками. Какова толщина шпата?

Наблюдаемые полосатые спектры возникают благодаря изменению разности фаз между колебаниями вдоль главных направлений, производимыми двоякопреломляющей пластинкой, в зависимости от длины волны.

Линейно-поляризованное колебание $OP$ от первого поляризатора (Рис. 2) попадает на шпат под углом $45^{\circ}$ к осям шпата, одна из которых лежит в направлении оптической оси, а другая перпендикулярна ей; линейно поляризованное колебание $OP$ имеет равные проекции на этих осях. После выхода из пластинки колебание, параллельное оси и распространяющееся с показателем преломления $n_{e}$, меньшим, чем показатель преломления $n_{0}$ колебания, перпендикулярного оси, имеет оптический путь, превышающий оптический путь колебания, перпендикулярного оси, на величину $$\delta=e\left(n_{0}-n_{e}\right).$$ Полученная величина не зависит от длины волны, если пренебречь дисперсией двойного лучепреломления. Это приближение, всегда хорошее в рассматриваемой области излучения, задается формулировкой задачи, которая предусматривает только одно значение для показателей преломления. Однако разность фаз $$\varphi=\frac{2 \pi \delta}{\lambda}=\frac{2 \pi e}{\lambda}\left(n_{0}-n_{e}\right)$$ изменяется с длиной волны. Интенсивность света, пропущенного анализатором, определяется выражением $$I=\sin ^2 \frac{\varphi}{2} \tag{1}$$ так как оптические оси шпата находятся под углом $45^{\circ}$ к направлению колебания $OP$, пропускаемого поляризатором, скрещенным с анализатором. Интенсивность равна нулю для $$\varphi=2K \pi \quad или \quad e\left(n_{0}-n_{e}\right)=K \lambda \quad(K - целое~число).\tag{2}$$ Все длины волн, для которых это соотношение удовлетворяется, т. е. те, для которых толщина пластинки равна толщине одно волновой пластинки, умноженной на $K$, гасятся, что соответствует темным полосам в спектре. Чтобы найти толщину пластинки, необходимо знать целое чисто $K$ (или $K'$ ) для полосы, создаваемой длиной волны $\lambda$ (или $\lambda'$). Если имеется сорок одна яркая полоса между этими двумя темными полосами, создаваемыми длинами волн $\lambda$ и $\lambda'$, то $$K=K'+42$$ Таким образом, $$e\left(n_{0}-n_{e}\right)=K' \lambda'=\left(K'+42\right) \lambda,$$ следовательно, $$K'=e \cdot \frac{0.172}{0.7}$$ и $$e=\frac{42 \cdot 0.6}{0.172(1-0.6/0.7)}=\frac{42 \cdot 0.6\cdot 0.7}{0.172 \cdot 0.1}=1026~мкм.$$

C1  ^?? Рассмотрите белый свет, который, выходя из пластинки шпата, не попадает во второй николь.

1. Каковы длины волн, для которых имеет место линейная поляризация?
2. Каковы длины волн, для которых имеет место круговая поляризация?

Показатели преломления шпата: $n_{0}=1.658$, $n_{e}=1.486$.

Разность фаз $\varphi$ изменяется на $2 \pi$ при переходе от одной темной полосы к следующей. Для длин волн, полосы от которых лежат между этими полосами, колебание, выходящее из шпата, обычно эллиптически поляризовано. Оси эллипса всегда ориентированы вдоль направления колебания $OP$, определяемого поляризатором, и по направлению нормали $OA$.

1. Колебание линейно-поляризовано, если $$\frac{\varphi}{2}=K \pi \quad или \quad \frac{\varphi}{2}=(2 K+1) \frac{\pi}{2} \quad(K - целое \quad число).$$ В первом случае мы опять получаем уравнение (2), и колебание, параллельное $OP$, гасится анализатором. Во втором случае толщина пластинки равна нечетному числу толщин полуволновой пластинки для рассматриваемого излучения; линейно-поляризованное колебание параллельно $OA$ и проходит через анализатор. Освещенность спектра максимальна для длин волн, определяемых соотношением $$e\left(n_{0}-n_{e}\right)=(2 K+1)\frac{\lambda}{2}.$$
2. Колебание будет поляризованным по кругу при $\operatorname{tg} \varphi / 2=1$, так что $$\frac{\varphi}{2}=(2 K+1) \frac{\pi}{4}.$$ Толщина пластинки равна нечетному числу толщин четвертьволновой пластинки. Это имеет место для волн, длины которых удовлетворяют соотношению $$e\left(n_{0}-n_{e}\right)=2(K+1) \frac{\lambda}{4}.$$