Pho.rs: S1a - Маглев

A1 ^0.40 Пользуясь методами известными из электростатики, выведите поле точечного магнитного диполя с дипольным моментом $\vec{m}$.

1 $$\vec{B}=\cfrac{\mu_0}{4\pi r^3}\left(-\vec{m}+\cfrac{3(\vec{r}\cdot\vec{m})\vec{r}}{r^2}\right).$$

0.40

A2 ^0.40 Найдите энергию упругого диполя в магнитном поле $B$, направленном вдоль оси $z$. Ответ выразите через $\alpha$ и $B$.

1 $$W = -\cfrac{\alpha B^2}{2}$$

0.40

A3 ^0.40

Пусть молекулы некоторого вещества имеют поляризуемость $\alpha$ и концентрация этих молекул $n$ (размерность $1/м^3$). Рассмотрите поведение плоского слоя такого вещества во внешнем однородном магнитном поле и определите магнитную проницаемость вещества $\mu_e$. Пренебрегайте влиянием частиц друг на друга , т.е. работайте в приближении $|\mu_e-1| \ll 1$.

Ответ выразите через $\alpha$, $n$ и $\mu_0$.

1 $$\mu_e=\cfrac{1}{1-\alpha\mu_0n}.$$

0.40

A4 ^0.80

Запишите граничные условия на $B_n(\theta)$ и $B_{\tau}(\theta)$.

1 $$ B_{in}\cos{\theta}=B_0\cos{\theta}+\cfrac{\mu_0m\cos{\theta}}{2\pi r^3}$$	0.40
2 $$\cfrac{B_{in}}{\mu_0\mu_s}\sin{\theta}=\cfrac{B_0}{\mu_0}\sin{\theta}-\cfrac{m\sin{\theta}}{4\pi r^3}$$	0.40

A5 ^0.80 Используя граничные условия, найдите $\vec{B}_\text{in}$ и $\alpha_s$. Ответы выразите через $\vec{B_0}$, $\mu_s$ и $R$.

1 $$B_{in}=\cfrac{3B_0}{\dfrac{2}{\mu_s}+1}.$$	0.40
2 $$\alpha_s=\cfrac{(-1+\mu_s)4\pi R^3}{(2+\mu_s)\mu_0}$$	0.40

A6 ^0.50 Выразите $\alpha_{s}$ для немагнитного шарика в растворе $\rm MnCl_2$ через $a$, $c$ и $R$.

1 $$\alpha_s=-\cfrac{4ac\pi R^3}{3\mu_0}.$$

0.50

A7 ^1.00 Найдите $W$ для шарика, находящегося на оси. Выберите константы так, что магнитная энергия на бесконечности равна нулю; энергия в поле силы тяжести равна нулю при $z=0$. Выразите ответ через $\rho_s, \rho_e, g, R, \alpha_s, B(z)$ и $z$.

1 Записано первое слагаемое: $$W_1=\dfrac{4}{3}\pi R ^3 (\rho_s-\rho_e)gz.$$	0.50
2 Записано второе слагаемое: $$W_2=-\cfrac{\alpha_sB_z^2}{2}.$$	0.50

A8 ^0.20 Энергия, полученная в A7, оказывается пропорциональной объему шарика. Найдите удельную энергию шарика $w=W/V$. Ответ выразите его через $a$, $c$, $\mu_0$, $B(z)$ и $g$, $z$, $\rho_e$, $\rho_s$.

1 $$w=(\rho_s-\rho_e)gz+\cfrac{ac}{2\mu_0}B_z^2.$$

0.20

A9 ^2.00 Определите при каких условиях на $c$ и $\rho_s-\rho_e$ реализуются каждый из случаев. Выразите их в терминах $a$, $c$, $\mu_0$, $M$, $g$ и значений, характеризующих график зависимости $B^2(\mu_0 M)^2$ от $z$.

1 Условие того, что шарик тонет: $$ \rho_s - \rho_e > 0.$$	0.20
2 Условие наличия положения равновесия: $$(\rho_s-\rho_e)g+\cfrac{dB_z^2}{dz}\cdot\cfrac{ac}{2\mu_0}=0$$	0.30
3 Найдена производная на самом крутом участке графика: $$k_1\approx 10^{-2}(M\mu_0)^2/\text{mm}$$	0.30
4 Найдена производная на втором интересующем нас участке графика: $$k_2\approx 5 \cdot 10^{-3}(M\mu_0)^2/\text{mm}$$	0.30
5 Условие отсутствия положений равновесия: $$k_1\cdot\cfrac{ac}{2\mu_0} < \|\rho_e-\rho_s\|g$$	0.30
6 Условие наличия только одного устойчивого положения равновесия: $$k_2\cfrac{ac}{2\mu_0} < \|\rho_e-\rho_s\|g < k_1\cfrac{ac}{2\mu_0}$$	0.30
7 Условие наличия двух устойчивых положений равновесия: $$\|\rho_e-\rho_s\|g < k_2\cfrac{ac}{2\mu_0}$$	0.30

A10 ^1.50 Заткните трубку с одной стороны пробкой, залейте раствор. Расположите магнит примерно по середине уровня раствора.

Изменяя концентрацию концентрацию $\rm MnCl_2$ в растворе, как можно точнее измерьте границу перехода из одного случая в другой из A9 для каждого выданного типа шариков.

Концентрацию раствора $\rm MnCl_2$ записывайте в терминах $m_e/m_w$, где $m_e$ - полная масса раствора, а $m_w$ - масса чистой воды, использованной для его приготовления.

1 В таблице присутствуют столбцы $m_e$, $m_w$ (или их отношение) и наблюдаемое число положений равновесия. Измерена хотя бы одна адекватная точка.	0.30
2 Измерены границы переходов: 3-4, 4-5, 5-6 для черного шарика и 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6 для белого	8 × 0.15

A11 ^0.50 Выданный вам порошок это не чистый $\rm MnCl_2$ а 4-гидратированный $\rm MnCl_2 \cdot 4H_2O$, т.е. на каждую молекулу $\rm MnCl_2$ в порошке приходится четыре молекулы $\rm H_2O$. При растворении этого порошка в жидкой воде он распадается на ионы $\rm Mn^{2+}$ и $\rm Cl^-$, а вода приобретает жидкую форму.

Выразите молярную концентрацию $c$ ионов марганца $\rm Mn^{2+}$ в растворе. Для ответа используйте $\rho_e$, $m_e/m_w$, $\mu_{\rm H_2O}$ и $\mu_{\rm MnCl_2}$

1 $$c =\cfrac{(m_e-m_w)\rho_e}{m_e(4\mu_{H_2O}+\mu_{MnCl_2})}$$

0.50

A12 ^1.00 По вашим данным рассчитайте значения $\chi_e$ от $c$ и постройте график этой зависимости.

1 Есть верно пересчитанные значения $\chi_e, c$	0.40
2 Оформления графика соответствует требованиям.	0.30
3 Точки хорошо аппроксимируются линейной зависимостью $\chi_e=a \cdot c$	0.30

A13 ^0.50 Найдите поляризуемость ионов марганца $\alpha_{\rm Mn^{2+}}$.

1 Получена формула: $$\alpha_{Mn^{2+}}=\cfrac{a}{\mu_0 N_A}$$	0.20
2 С помощью коэффициента угла наклона рассчитано численное значение $\alpha_{Mn^{2+}}$	0.30

S1a - Маглев

Разбалловка