A1  ^?? В первом опыте свет линейно-поляризован поляризатором $P$ (Рис. 1) и определяется азимут колебания до и после прохождения через кювету, которая имеет длину $0.5~см$. Зная, что плоскость колебания повернется для наблюдателя по часовой стрелке на угол $\alpha=1.2^{\circ}$, и имея в виду, что вращательная способность объясняется круговым двойным лучепреломлением, определите знак и величину разности показателей преломления этой жидкости для света с указанной выше длиной волны, имеющего правую и левую круговую поляризацию.

Имеем $$\alpha=\frac{\pi l}{\lambda}\left(n_{l}-n_{r}\right),$$ где $\alpha$ измеряется в радианах. Если вращение происходит для наблюдателя по часовой стрелке, то быстрее всего в среде распространяются колебания с правой круговой поляризацией, $n_{l}>n_{r}$: $$n_{l}-n_{r}=\frac{1.2 \cdot 0.589 \cdot 10^{-4}}{180 \cdot 0.5}=7.85 \cdot 10^{-7}.$$

A2  ^?? Наклон плоскости колебаний определяется при использовании полузатенённого анализатора, который состоит из полуволновой пластинки $L$ (Рис. 1), жестко закрепленной на призме Глезебрука $A$ и закрывающей половину светового пучка. Направление пропускания этой призмы образует малый угол $\varepsilon$ с оптической осью пластинки $L$. Система может быть повернута на известный угол. Объясните действие установки.

Пусть $O y$ и $O z$ (Рис. 2) – направления оптических осей полуволновой пластинки, $OA$ – направление колебания, пропущенного анализатором, и $OV_{1}$ – направление линейно-поляризованного колебания пучка, падающего на пластинку.

Это колебание принимает направление $O V_{2}$, симметричное направлению $OV_{1}$ относительно $Oz$ для той половины пучка, которая падает на полуволновую пластинку. Пусть $\gamma$ – угол, образованный $OV_{1}$ с $Oz.$ Проекции $OV_{1}$ и $OV_{2}$ на $OA$ соответственно равны $$Ov_{1}=O V_{1} \sin \left(\gamma+\varepsilon\right) \quad и \quad Ov_{2}=OV_{2} \sin \left(\gamma-\varepsilon\right).$$ Интенсивности соответствующих двух пучков после прохождения через анализатор будут иметь вид $$I_{1}=I \sin^2\left(\gamma+\varepsilon\right) \quad и \quad I_{2}=I \sin^2 \left(\gamma-\varepsilon\right).$$ Они равны, если $\gamma=0$, т.е. если направление $OV$ параллельно $Oz$. Они малы, так как $\varepsilon$ – малый угол; это благоприятное условие для их сравнения при помощи глаза (решение $\gamma \approx \pi/2$ дает слишком большую интенсивность). Тогда можно точно определить азимут плоскости колебания $OV$ до и после введения активной жидкости.

B1  ^?? Во второй серии опытов свет поляризован по кругу. Это осуществляется путем использования линейного поляризатора (например, поляризатора Глезебрука) и четвертьволновой пластинки с известными оптическими осями. Используя чертеж, покажите кратко, как можно создать правую и левую круговые поляризации света при помощи этой установки.

Направление пропускания поляризатора $OP$ ориентировано под углом $45^{\circ}$ к оптическим осям четвертьволновой пластинки. Чтобы получить колебание с левой круговой поляризацией для наблюдателя, который видит свет, выходящий из четвертьволновой пластинки, «опережающая» оптическая ось, т.е. оптическая ось, соответствующая меньшему значению показателя преломления, должна быть направлена вдоль $Oy$ $\left(n_y < n_{z}\right)$, и наоборот – для колебания с правой круговой поляризацией.

B2  ^?? Какова толщина четвертьволновой пластинки, если она вырезана из кристаллической слюды, главные показатели преломления которой в плоскости среза равны $n=1.5977$ и $n'=1.5936$ для излучения паров натрия?

Для четвертьволновой пластинки толщиной $l$ $$l\left(n-n^{\prime}\right)=\frac{\lambda}{4}$$ или $$l=\frac{0.589}{4(1.5977-1.5936)}=36~мкм$$ что можно легко получить из слюды из-за простоты среза.

B3  ^?? Зная ответы на предыдущие вопросы, с помощью соответствующего детектора для светового потока можно установить, что заполненная жидкостью кювета длиной $1~мм$ пропускает часть интенсивности падающего света с левой круговой поляризацией, равную $0.520$, и что подобная же кювета длиной $2~мм$ пропускает часть интенсивности света, равную $0.320$. Подсчитайте коэффициент поглощения жидкости. Почему необходимо измерить его для двух значений длины кюветы? Повторите этот расчет для света с правой круговой поляризацией; в этом случае интенсивности пропущенного света равны $0.503$ и $0.301.$ (Вспомните, что для однородного поглощающего вещества относительная потеря интенсивности для монохроматического светового потока $F$ при прохождении через толщину $\mathrm dx$ равна $$-\frac{\mathrm d F}{F}=K\mathrm dx,$$ где $K$ – коэффициент поглощения).

Выражая коэффициент поглощения $K$ в $см^{-1}$, имеем:

• для кюветы длиной $1~мм$ – $F_{1} / F_{0}=A \exp (-0.1 K)$
• для кюветы длиной $2~мм$ – $F_{2} / F_{0}=A \exp (-0.2 K)$

где $F_{0}$ – падающий поток, $A$ – постоянный коэффициент, который зависит от кюветы и учитывает в особенности потери при отражении от граней. Следовательно, $$\frac{F_{2}}{F_{1}}=\exp (-0.1 K)$$ Для света с левой круговой поляризацией: $$\exp \left(-0.1 K_{l}\right)=\frac{0.320}{0.520}=0.615,$$ $$-0.1 K_{l}=2.3 \ln 0.615=2.3(-0.21112)=-0.4856,$$ $$K_{l}=4.86~см^{-1}$$ Для света с правой круговой поляризацией: $$\exp \left(-0.1 K_{r}\right)=\frac{0.301}{0.503}=0.599,$$ $$-0.1 K_{r}=2.3 \ln 0.599=2.3(-0.22257)=-0.5119$$ $$K_{r}=5.12~см^{-1}$$ Именно для того, чтобы исключить влияние кюветы, учитываемое коэффициентом $A$, требуется сделать два измерения с разной толщиной кюветы.

C1  ^?? Найдите уменьшение амплитуды колебаний с правой и левой круговыми поляризациями, проходящих через кювету с жидкостью длиной $0.5~см.$ Если жидкость освещается линейно-поляризованным светом, покажите, что выходящий свет эллиптически поляризован, и найдите отношение осей.

Интенсивность монохроматического светового колебания пропорциональна квадрату амплитуды, а коэффициент поглощения для последней равен $K/2$. Отсюда получаем значения коэффициентов уменьшения амплитуды при прохождении через слой толщиной $0.5~см$:

• для колебания с левой круговой поляризацией: $$\exp (-4.86 \cdot 0.5 \cdot 0.5)=\exp (-1.200)=0.3012,$$
• для колебания с правой круговой поляризацией: $$\exp (-5.12 \cdot 0.5 \cdot 0.5)=\exp (-1.280)=0.2791.$$

Результирующим колебанием для двух колебаний с поляризацией по кругу с одинаковой амплитудой и противоположным направлением вращения будет линейно–поляризованное колебание. Для двух колебаний с противоположным направлением вращения и с неодинаковой амплитудой результирующим будет эллиптически поляризованное колебание. Чтобы убедиться г этом, надо описать колебания с поляризацией по кругу после прохождения через среду по отношению к двум взаимно перпендикулярны осям общего вида $Oy$ и $Oz$. Колебание с левой круговой поляризацией, например, определяется выражениями $$y_{l}=G \cos \omega t, \quad z_{l}=G \sin \omega t,$$ и колебание с правой круговой поляризацией $$y_{r}=D \cos (\omega t-\varphi), \quad z_{r}=D \sin (\omega t-\varphi),$$ где $\varphi=2 \alpha$, $\alpha$ – угол вращения. По отношению к осям $OY$ и $OZ$, с которыми оси $O $ и $Oz$ образуют угол $\alpha$, уравнения принимают вид $$Y_{l}=G \cos (\omega t-\alpha), \quad Z_{l}=G \sin (\omega t-\alpha),$$ $$Y_{r}=D \cos (\omega t-\alpha), \quad Z_{r}=-D \sin (\omega t-\alpha).$$ Результирующие компоненты колебаний, поляризованных по кругу, описываются выражениями $$Y=Y_{l}+Y_{r}=(G+D) \cos (\omega t-\alpha),$$ $$Z=Z_{l}+Z_{r}=(G-D) \sin (\omega t-\alpha).$$ Это уравнения эллипса по отношению к его осям. Оси соответственно равны $2(G+D)$ и $2(G-D)$. Колебания будут иметь левую поляризацию, если $G-D>0$, и правую, если $G-D<0$. Эллипс описывается в направлении вращения того колебания с круговой поляризацией, которое меньше поглощается. Отношение осей эллипса равно $$\frac{G-D}{G+D}=\frac{0.3012-0.2791}{0.3012+0.2791}=0.0381.$$ Можно получить тот же результат при помощи геометрического рассмотрения. Два колебания с круговой поляризацией могут быть представлены в каждый момент времени векторами $O D=D$ и $O G=G$, которые вращаются вокруг точки $O$, образуя равные углы с $O Y$ (Рис. 3).

Построим результирующий вектор $OR$ для $OG$ и $OD$, затем проведем через $R$ параллели относительно $OY$ и $OZ$, которые пересекут $OG$ в точках $M$ и $N$. Находим, что $GN=GR=OD$. Точка $N$ описывает окружность радиусом $D+G$, а точка $M$ – окружность радиусом $D-G$. Геометрическое место точек $R$ получается, если рассмотреть эти две концентрические окружности, вращающийся радиус $ON$ и параллели относительно $OY$ и $OZ$, проведенные через те точки, в которых он пересекает эти две окружности. Это одно определение эллипса. Заметим, что эллиптически поляризованное колебание получается в этом случае при помощи совсем другого механизма, чем линейное двойное лучепреломление. В последнем случае эллиптичность колебания изменяется с углом наклона плоскости падающего колебания по отношению к оптическим осям двоякопреломляющей системы. В данном случае вид эллипса не зависит от угла наклона плоскости начального колебания, так как в жидкости, к которой не приложено электрическое поле, нет оптических осей. Вращательная способность жидкости обусловливает поворот эллиптически поляризованного колебания на угол $\alpha$, не зависящий от ориентации эллипса.

D1  ^?? Повторите измерение вращательной способности, проделанное в A1. Теперь, не трогая анализатора, установленного на гашение, поместите между кюветой и анализатором четвертьволновую пластинку, оптические оси которой параллельны оптическим осям полуволновой пластинки. Как нужно повернуть анализатор, чтобы восстановить затемнение? Объясните результат.

Четвертьволновая пластинка расположена так, что ее оптические оси параллельны осям эллиптически поляризованного колебания, выходящего из кюветы, поскольку анализатор, установленный на минимальное пропускание, расположен вдоль большей оси эллипса и поскольку эта ось параллельна одной из оптических осей полуволновой пластинки. Четвертьволновая пластинка преобразует эллиптически поляризованный свет в линейно-поляризованный, который образует угол $\beta$ с ее оптическими осями, так что $$\operatorname{tg} \beta=\frac{G-D}{G+D} \approx \beta=0.0330 \approx 2^{\circ}.$$ Угол $\beta$ отсчитывается для наблюдателя по часовой стрелке, если опережающая оптическая ось четвертьволновой пластинки совпадает с большей осью эллипса.

E1  ^?? Абсолютная ошибка в ориентации плоскости колебания, измеренная при помощи анализатора, установленного на гашение, и глаза, изменяется пропорционально корню квадратному из величины светового потока, получаемого анализатором. Какая толщина этой активной поглощающей жидкости сделает относительную ошибку минимальной?

Абсолютная ошибка $\varepsilon$ в ориентации плоскости колебания равна $$\varepsilon=C \sqrt{F} \quad(C=\operatorname{const}).$$ Относительная ошибка равна $\varepsilon/\alpha$. Однако $\alpha=A l$ $(A=\operatorname{const})$ и $F=F_{0} \exp (-K l)$. Отсюда $$\frac{\varepsilon}{\alpha}=\frac{C \sqrt{F_{0}}}{A} \cdot \frac{\exp (-K l / 2)}{l}.$$ Это выражение как функция $l$ минимально для $$\frac{K l}{2}=1, \quad откуда \quad l=\frac{2}{K} \approx \frac{2}{5}=0.4~см.$$