А1  ^?? Рассмотрите последовательно случаи с различными типами объекта:

1. Безразмерная точка, помещенная в фокусе линзы $L_{1}$;
2. Малый бесконечно тонкий отрезок линии, проходящий через $F_{1}$ и параллельный краям дифракционной щели.

В обоих случаях кратко опишите изображение. Найдите распределение освещенности в плоскости $\pi_{2}$, каждая точка которой описывается координатами $\xi$ и $\eta$. Дайте графический вид этого распределения вдоль оси $F_{2} \xi$. (Используйте освещенность как ординату и вдоль абсциссы отложите $u=(\sin i) / \lambda$, где $i$ – угол, который дифрагирующий луч образует с нормалью к плоскости зрачка).

Дифракция от щели

Так как щель длинная и узкая, то она дает дифракционную картину только в плоскостях, параллельных $xOz$. Решая эту задачу, сведем ее к одномерной задаче, когда остаются только переменные $x$ и $\xi$.

Точечный источник

Если зрачок очень велик, то дифракции не происходит и в $F_{2}$ (точка, сопряженная $F_{1}$) образуется одно изображение, идентичное объекту. 

Введение зрачка приводит к растягиванию изображения, центр которого, однако, остается на геометрическом изображении $F_{2}$. Так как зрачок есть щель, параллельная $Oy$, то изображение растягивается вдоль линии $F_{2} \xi$. Расчет устанавливает этот результат.

Во всех задачах мы будем нормировать результаты, т.е. положим максимум интенсивности равным единице. Таким образом,

$$I(u)=\left(\frac{\sin \pi ua}{\pi ua}\right)^{2}, \quad где \quad u=\frac{\sin i}{\lambda}.\tag{1}$$

Изображение образовано из ряда малых освещенных участков, расположенных вдоль $F_{2}$ (Рис. 2a).

Изменение освещённости показано на Рис. 2б.

Центральная яркая область в два раза шире $2/a$, чем другие боковые полосы.

Объектом является очень тонкая яркая линия

В этой задаче не определены степени пространственной когерентности светового источника. Однако результат будет одним и тем же во всех случаях. Линию можно себе представить состоящей из ряда светящихся точек $m_{0}, m_{1}, \ldots, m_{n}$ (Рис. 3). 

Каждая из этих точек образует линию дифракции с центром на геометрическом изображении точки и параллельную $O \xi$ (Рис. 4).

Так как геометрическое место точек дифракционной картины лежит в плоскостях, параллельных $\xi F_{2} \zeta$, то вдоль $F_{2} \eta$ не может быть никакой интерференции. Если источник состоит из коротких светящихся отрезков линии, то образованные полосы параллельны $Oy$ (Рис. 5). Высота этих полос равна высоте линейчатого источника, так как в этом случае увеличение равно единице. Распределение освещенности вдоль любой линии, параллельной $O\xi$, то же самое, что и рассчитанное выше.

А2  ^??

Теперь объект представляет собой набор из пяти светящихся линий, параллельных друг другу и дифракционной щели. Эти линии отстоят друг от друга на одинаковых расстояниях (период $d$), размер объекта считается очень большим.

Каково минимальное значение $d$, для которого изображение имеет периодическую структуру:

1. Если излучение объекта совершенно некогерентно? Вспомните, что$$1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\ldots=\frac{\pi^{2}}{8}$$
2. Если освещение когерентно?

Объектом является решетка с периодом $d$

1. Некогерентное освещение

Каждая щель образует систему полос, идентичную предыдущей, с центром на ее геометрическом изображении. Так как линейчатые источники некогерентны, то мы должны рассматривать интенсивность, создаваемую каждым из них, и затем взять сумму этих интенсивностей. Для простоты будем считать, что дифракционная картина, образованная каждой щелью, ограничивается центральной полосой, которая имеет центр на геометрическом изображении щели. Распределение освещенности показано на Рис. 6, где $u_{0}$ равно отношению $d/f \lambda$. Нетрудно видеть, что если $d$ уменьшается, то в конце концов создается положение, когда решетка перестает разрешать.

Если в качестве критерия разрешения принять случай, когда дифракционный максимум от источника-щели совпадает с первым минимумом дифракционного изображения от соседней щели, то получим (Рис. 7).

$$u_{0}=\frac{1}{a}=\frac{\sin i}{\lambda} \approx \frac{i}{\lambda}=\frac{d}{\lambda} . \tag{2}$$ Следовательно, $$d_{мин}=\lambda \frac{f}{a}. \tag{2a}$$ В действительности, если принять во внимание вторичные максимумы, найдем $$I_{макс}=I(0), $$ $$I_{мин}=2\left\{I\left(\frac{1}{2 a}\right)+I\left(\frac{2}{3 a}\right)+I\left(\frac{5}{2 a}\right)+\ldots\right\}. \tag{3}$$ Уравнение $(1)$ дает $$I_{макс}=1$$ $$I_{мин}=2\left[\frac{1}{\pi^{2} / 4}+\frac{1}{9 \pi^{2} / 4}+\frac{1}{25 \pi^{2} / 4}+\ldots\right] \tag{4}$$ $$I_{мин}=\frac{8}{\pi^{2}}\left[1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\ldots\right]=\frac{8}{\pi^{2}} \frac{\pi^{2}}{8}=1=I_{макс}$$ Для $u=u_{0}$ изображение не контрастно. Периодическая структура появляется только для \begin{align*} & u>u_{0} \\ & d>\frac{\lambda f}{a} \tag{5} \end{align*}

Численный пример

$$d~(мкм) =0.5 \cdot \frac{10^{3}}{5}$$ $$d >0.1~мм.$$

Когерентное освещение

Теперь необходимо просуммировать амплитуды, а не интенсивности. Вдоль $F_{2} \eta$ нет интерференции, она наблюдается только вдоль $F_{2} \xi$.

В1  ^??

Решетка состоит из бесконечно тонких прямых штрихов, параллельных $Oy$ и разделенных непрозрачными интервалами шириной $p$.

1. Найдите распределение освещенности в плоскости $\pi_{2}$.
2. Представьте графически распределение света в зависимости от $u=(\sin i) / \lambda$. Рассмотрите случаи, когда дифракционная решетка имеет бесконечную ширину и затем конечную ширину $L$.

Дифракция на решетке

Решетка с тонкими щелями

1. Решетка шириной $L$

Каждая бесконечно тонкая щель дифрагирует лучи равномерно в пространстве. 

Как и прежде, поскольку щели параллельны $Cy$, дифракция наблюдается только в плоскостях, параллельных $xOz$. Кроме того, в случае точечного источника дифракционное изображение имеет центр на геометрическом изображении $F_{2}$ и растянуто вдоль $F_{2} \xi$.

В случае $N$ дифракционных щелей распределение интенсивности имеет вид $$I(u)=A(u) A^{*}(u)=\left(\frac{\sin N \pi u p}{\sin \pi u p}\right)^{2}.\tag{6}$$ Из $(6)$ можно установить положение спектров, которые эквидистантны с периодом $\Delta u=1/p$.

Их ширина равна $\delta u=1/Np$. Число спектров ограничено условием $\sin i<1$, которое в данном случае проявляется как $|k|< 4$. Таким образом, имеются семь видимых спектров с одинаковой интенсивностью.

На Рис. 8а показано изменение интенсивности в плоскости изображения. Переменные $u=(\sin i)/\lambda$, $\sin i$, $\varphi$ и порядок интерференции $k$ приводятся под каждым максимумом на рисунке.

Примечание

Используя в данном случае термин «спектр», мы не имеем в виду наличие цветного спектра, так как применяется монохроматический свет; этот термин относится к максимумам интенсивности в дифракционной картине.

2. Бесконечная решетка

Ширина спектра $\delta u=1/Np$ уменьшается по мере увеличения $N$. Для бесконечного числа $N$ изображение состоит из ряда ярких точек на оси $F_{2}\xi$ (рис. 8б).

В2  ^?? Штрихи решетки параллельны $Oy$, но теперь прозрачные и непрозрачные интервалы имеют одинаковую ширину $p/2$. Ответьте на прежние вопросы.

Решетка Фуко (период $p$, ширина щелей $p/2$)

1. Зрачок из $N$ щелей

Дифракционная амплитуда от одной щели под углом $u$ определяется как $$A_{0}(u)=\frac{p}{2} \frac{\sin \pi u(p / 2)}{\pi u(p / 2)} \tag{7}$$ Интенсивность дифракции на решетке под углом $u$ равна $$I(u)=\left[\frac{p}{2} \frac{\sin (\pi up / 2)}{\pi up / 2}\right]^2 \left(\frac{\sin N \pi u p}{\sin  \pi u p}\right), \tag{8}$$ где $\left[\dfrac{p}{2} \dfrac{\sin (\pi up / 2)}{\pi up / 2}\right]^2$ – дифракционный член, и $\left(\dfrac{\sin N \pi u p}{\sin  \pi u p}\right)$ – интерференционный член.

Результаты показаны на Рис. 9a. Спектры четного порядка исчезают, и остаются только спектры порядков $0$, $\pm 1$, $\pm 3$. Распределение интенсивности на дифракционной картине всегда имеет место вдоль $F_{2} \xi$, так как мы имеем дело с точечным источником и одномерным зрачком.

2. Бесконечная решетка

Ход рассуждения такой же, как и в предыдущем случае. Вдоль оси находятся пять точек неравной интенсивности (Рис. 9б).

Итак, характеристики решетки приведут к следующим особенностям в изображении.

Ширина щелей определяет величину модуляции. Если щели обладают конечной шириной (как обычно бывает на практике), то спектры не имеют одинаковой интенсивности. Определенные порядки могут даже исчезнуть.

Период решетки определяет положение спектров. Они эквидистантны в пространстве $u$ с периодом $\Delta u=1/p$.

Ширина решетки характеризует ширину спектров ($\delta u=1/Np=1/L$).

В3  ^?? Рассмотрите синусоидальную решетку. Амплитуда света, проходящего в точке $P(x, y)$ зрачка, имеет вид  $$ f(x)=\cos \frac{2 \pi x}{p}.$$Пропускание постоянно вдоль линий, параллельных $O y$. Как и в прежних вопросах, определите распределение освещенности и изобразите его графически.

Синусоидальная решетка

1. Решетка шириной $L$

Амплитуда света, дифрагированного под углом $u$, определяется выражением $$A(u)=\int_{-L / 2}^{+L / 2} f(x) e^{j 2 \pi u x} \mathrm d x=\int_{-L / 2}^{+L / 2} \cos 2 \pi \frac{x}{p} e^{j 2 \pi u x} \mathrm d x \tag{9}$$ Примем $$u_{1}=\frac{1}{p} \tag{10}$$ Предыдущий интеграл записывается в виде $$A(u)=\frac{1}{2} \int_{-L / 2}^{+L / 2} e^{j 2 \pi(u+u) x} \mathrm d x+\frac{1}{2} \int_{-L / 2}^{+L / 2} e^{j 2 \pi\left(u-u_{1}\right) x} \mathrm d x \tag{11}$$ таким образом, $$A(u)=\frac{1}{2} L\left[\frac{\sin \pi\left(u+u_{1}\right) L}{\pi\left(u+u_{1}\right) L}+\frac{\sin \pi\left(u-u_{i}\right) L}{\pi\left(u-u_{1}\right) L}\right]. \tag{I2}$$ Так как $L$ много больше чем $p$, то $$\frac{1}{L} \ll \frac{1}{p}$$ или $$\frac{1}{L} \gg u_{1}$$ Два спектра, показанные на Рис. 10a, практически не имеют ни одной общей точки.

Таким образом, можно написать для нормированной интенсивности света
$$I(u)=\left[\frac{\sin \pi\left(u+u_{1}\right) L}{\pi\left(u+u_{1}\right) L}\right]^{2}+\left[\frac{\sin \pi\left(u-u_{1}\right) L}{\pi\left(u-u_{1}\right) L}\right]^{2}. \tag{13}$$Изменение интенсивности изображается двумя кривыми, аналогичными представленным на Рис. 2б, но смещенными на $2 u_{1}$.

Изображение на оси $\xi$ состоит из двух спектров, разделенных промежутком $\Delta u=2 u_{1}=2/p$ и имеющих ширину $\delta u=1/L$.

Обнаруживаются только спектры порядков $+1$ и $-1$ (Рис. 10a).

2. Бесконечная решетка

Изображение сводится к двум ярким точкам, расположенным на оси $\xi$ симметрично по отношению к $F_{2}$, на расстоянии $\Delta u=2 / p$ (Рис.10 б) друг от друга. 

Все эти задачи можно решить более просто, используя преобразование Фурье.

Часть А

Зрачок – щель

A1

1. Когерентное освещение. Так как источником является безразмерная точка, помещенная в фокусе линзы $L_{1}$, то щель освещается плоской волной, фронт которой параллелен плоскости зрачка. Дифракционная амплитуда есть преобразование Фурье для амплитудного распределения света на зрачке, а именно $$ A(u)=F(u)=\frac{\sin \pi u a}{\pi u a}.$$
2. Объектом является очень тонкая яркая линия. Распределение $A(u)$ сохраняет прежнее значение.

A2

Объектом является решетка. 

1. Некогерентное освещение объекта.

 Обозначения. 

Обозначим через $M$ точку на плоскости объекта и через $M'$ точку на плоскости изображения. Кроме того, будем рассматривать этот вопрос в предположении, что плоскость объекта и плоскость изображения совпадают (при расчете разделение этих плоскостей в явном виде не проявляется). Следовательно, вектор $M-M'$ будет представлен вектором, соединяющим точку $M'$ в геометрическом изображении с точкой $M$. (Точка $M$ обозначает вектор $F_{1} M$ или $F_{2} M$, а $P$ вектор $OP$). 

Каждая точка $M$ объекта образует дифракционную картину с центром на геометрическом изображении точки $M$ (которое мы теперь также обозначим $M$). 

Так как дифракционные изображения не имеют определенных фазовых соотношений, то в плоскости изображения интенсивности складываются. 

Если функция $O(M)$ представляет собой распределение интенсивности в плоскости объекта, то интенсивность изображения в точке $M'$ определяется выражением $$I\left(M'\right)=\int_{объект} O(M) D\left(M'-M\right) \mathrm dM, \tag{14}$$ где $D\left(M'-M\right)=\left|A\left(M'-M\right)\right|^{2}$ есть распределение интенсивности в дифракционном пятне, полученное с этим зрачком. Если \begin{align*} & I(M) \xrightarrow{\mathcal {F}} i(P), \\ & O(M) \xrightarrow{\mathcal {F}} o(P), \tag{15}\\ & D(M) \xrightarrow{\mathcal {F}}\mathrm d(P), \end{align*} то теорема Парсеваля позволяет осуществить преобразование свертки $(14)$ в произведение $$ i(P)=o(P) \cdot \mathrm d(P) \tag{16}$$

Мы вернемся в тексте к специальному случаю, когда зрачок представляет собой тонкую щель, параллельную $Oy$, и дает дифракционную картину только вдоль плоскостей, параллельных $\xi F_{2} \zeta$. Единственными переменными, с которыми нам придется иметь дело, являются $x, u$ и $u'$.

Таким образом,

$$I\left(u'\right)=\int o(u) D\left(u'-u\right) \mathrm d u \tag{17}$$

и

$$i(x)=o(x) \cdot \mathrm d(x) \tag{18}$$

Теперь последовательно определим функции $o(x), \mathrm d(x)$ и затем $i(x)$.

• Вычисление функции $o(x)$.

Распределение интенсивности в плоскости объекта имеет вид

$$O(u)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(u-n u_{0}\right). \tag{19}$$

Это «ряд Дирака» с периодом $u_{0}$.

Преобразование Фурье для «ряда Дирака» с периодом $u_{0}$ есть «ряд Дирака» с периодом $1/u_{0}$. Имеем

$$o(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(x-\frac{n}{u_{0}}\right) \tag{20}$$

• Вычисление $d(x)$. 

Мы считаем, что

$$D(u)=A(u) A^{*}(u). \tag{21}$$

Однако здесь $A(u)$ – реальная функция и

$$D(u)=\left[A(u)\right]^{2} \tag{22}$$

Теорема взаимности Парсеваля позволяет написать

$$\mathrm d(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(X) f(x-X) d X \tag{23}$$

где $\mathrm d(x)$ – автокорреляционная функция пропускательной способности зрачка (для амплитуды).

Так как $f(X)$ – «прямоугольная» функция, то свертка равна общей площади двух прямоугольников, смещенных на $X$.

Возможно несколько случаев в зависимости значения $u_{0}$.

$$\fbox{$\frac{1}{u_{0}}>a$}$$

Имеем $i(x)=o(x) d(x)=\delta(x)$. Только основная частота проходит через щель рис. 11, а.

Находим рис. 11б
$$I\left(u'\right)=\mathcal{F}\left[\delta(x)\right], \quad так \quad что \quad I\left(u'\right)=1. \tag{24}$$Плоскость изображения равномерно освещена, рис. 12а
$$\fbox{$\frac{1}{u_0} < a$}$$

В дополнение к основной частоте проходит и определенное количество других пространственных частот. Они всегда ослаблены функцией $\mathrm d(x)$. Чтобы убедиться в справедливости этих представлений, рассмотрим пример, представленный на рис. 12б.

$$i(x)=\delta(x)+C\left[\delta\left(x+\frac{1}{u_{0}}\right)+\delta\left(x-\frac{1}{u_{0}}\right)\right] \tag{25}$$ где $$C=1-\frac{1}{a u_{0}}.$$ Отсюда получаем \begin{align*} & I\left(u'\right)=1+C\left[e^{j 2 \pi u'/ u_{0}}+e^{\left.-j 2 \pi u'/ u_{0}\right]},\right. \\ & I\left(u'\right)=1+2 C \cos 2 \pi \frac{u'}{u_{0}} \tag{26} \end{align*} Так как $1/u_{0}$ меньше чем $a$, то изображение имеет периодическую структуру (рис. 12б). Таким образом, решетка разрешает для значений $$\frac{1}{u_{0}} < a, \quad т. е. \quad для \quad d > \lambda \frac{f}{a}.$$

 

 

Примечание

Видно, что для значений $u_{0}$, больших чем $1/a$, изображение не всегда соответствует объекту. Действительно, даже если все пространственные частоты проходят, то их амплитуды модулируются функцией $\mathrm d(x)$. Только основная частота не подвергается воздействию.

2. Когерентное освещение объекта. 

Здесь необходимо учесть фазовые соотношения, которые существуют между различными амплитудами света, проходящего от точек на объекте до плоскости изображения. Для этого нужно оценить интеграл

$$E\left(M'\right)=\int \Omega(M) A\left(M'-M\right)\mathrm d M \tag{27}$$

где $E\left(M'\right)$ – результирующая амплитуда в точке $M'$.

Примем

$\left\{\begin{array}{l}\Omega(M) \text { - распределение амплитуд в плоскости объекта;}\\ A(M) \text { - распределение амплитуд в дифракционном пятне.}\end{array}\right.$

Если
\begin{align*}
& \Omega(M) \xrightarrow{\mathcal {F}} \omega(P), \\
& A(M) \xrightarrow{\mathcal {F}} f(P), \tag{28}\\
& E(M) \xrightarrow{\mathcal {F}} e(P),
\end{align*}
то теорема Парсеваля приводит к
$$e(P)=\omega(P) \cdot f(P). \tag{29}$$Задача всегда одномерна, и, таким образом, имеем свертку
$$E\left(u'\right)=\int \Omega(u) A\left(n'-u\right) \mathrm d u \tag{30}$$и произведение
$$e(x)=\omega(x) \cdot f(x). \tag{31}$$Возьмем произведение функций $\omega(x)$ и $f(x)$ и обозначим его через $e(x)$ (рис. 13a).

Получаем следующие результаты:

• При $1/u_{0} > a/2$ проходит только основная частота. $E\left(u'\right)=1$. Амплитуда постоянна в плоскости изображения.
• При $1/u_{0} < a/2$ проходят основная частота и некоторые гармоники.

В примере, представленном на рис. 13a, имеем
$$e(x)=\delta(x)+\delta\left(x-\frac{1}{u_{0}}\right)+\delta\left(x+\frac{1}{u_{3}}\right).\tag{32}$$Следовательно,
$$E\left(u'\right)=1+e^{j 2 \pi u'; u_{0}}+e^{-j 2 \pi u' u_{0}}=1+2 \cos 2 \pi \frac{u'}{u_{0}} . \tag{33}$$Кривые на рис. 13а и 13б характеризуют значения амплитуды и соответствующей интенсивности.

Изображение имеет тот же период, что и объект, но между главными максимумами появляются вторичные максимумы. В итоге, когда $1/u_{0}$ меньше чем $a/2$, распределение света в изображении становится периодическим и решетка разрешает это изображение. Чем больше пространственных частот проходит через щель, тем больше сходство между изображением и объектом. В любом случае изображение не будет идентичным объекту, так как ширина зрачка конечна.

Заключение

Сравнивая результаты для когерентного и некогерентного освещения, находим, что в каждом случае объект разрешается при следующих граничных значениях $u_{0}$: 

• объект – источник некогерентного света, $1/u_{0}<a,$
• объект – источник когерентного света, $1/u_{0}<a_2.$

Кроме того, находим:

• разрешение увеличивается с шириной апертуры,
• разрешение лучше в некогерентном, чем в когерентном свете (отношение равно $2$).

 

 

Примечание

Микроскоп – оптический прибор, который позволяет в большой степени изменять когерентность освещения. Действительно, оператор, работающий с микроскопом, может регулировать величину апертуры конденсора (закрытый конденсор $\rightarrow$ когерентное освещение, открытый конденсор $\rightarrow$ некогерентное освещение). Известно, что можно улучшить разрешение, используя по возможности наиболее некогерентный свет.

Часть В

Решетка

Так как источник – фиксированная точка, то переменную $u'$ больше вводить не надо. Можно иметь дело только с сопряженными переменными $x$ и $u$. 

Решетка с конечной шириной. Прозрачность (по амплитуде) зрачка характеризуется величиной $$g(x)=h(x) \cdot f(x) \tag{34}$$ где $h(x)$ – амплитуда света, пропущенного бесконечной решеткой, $f(x)$ – амплитуда света, пропущенного щелью шириной $L$. Амплитуда света, дифрагированного под углом $u$, задается такой функцией $G(u)$, что $$G(u)=H(u) \otimes F(u) \tag{35}$$ 

• Бесконечно тонкие щели.  Графически легко определить свертку: $$F \otimes H$$ рис. 14 б; 15 б; 16;
• Решетка Фуко рис. 14 6; 17 б и 18;
• Синусоидальная решетка рис. 14 6; 19 6 и 20.

Бесконечно широкая решетка. Задача упрощается, так как щелевой диафрагмы шириной $L$ не имеется. Распределение амплитуды в плоскости изображения определяется такой функцией $H(u)$, что$$ H(u)=\mathcal{F} \left[h(x)\right]. \tag{36}$$ Для трех рассмотренных решеток амплитудное распределение света представлено кривыми на рис. 15 б; 17 б и 19 б.