A  ^?? Открытый зрачок

При решении этой задачи будут использоваться цилиндрические координаты, так как в рассматриваемых примерах мы имеем дело с вращательной симметрией (рис. 4).

Определим амплитуду в точке $M$.

Общее выражение для амплитуды в точке $M$ имеет вид
$$A(M)=\int_{0}^{\alpha_{0}} \int_{0}^{2 \pi} \exp \left[-j \frac{2 \pi}{\lambda} \alpha \rho \cos \left(\theta-\theta'\right)\right] \alpha d \alpha d \theta. \tag{1}$$Изменяя начало отсчета азимутов, можно написать
$$A(M)=\int_{0}^{\alpha_{0}} \int_{0}^{2 \pi} \exp \left(-j \frac{2 \pi}{\lambda} \alpha \rho \cos \theta\right) \alpha d \alpha d \theta. \tag{2}$$

A1.1  ^?? Напишите выражение для амплитудного распределения света и для распределения интенсивности в плоскости $П$. Охарактеризуйте точку $M$ в плоскости $П$ ее расстоянием $\rho$ от точки $C$, геометрического изображения источника. Для упрощения примите $Z=(2 \pi / \lambda) \alpha_{0} \rho$. Какова освещенность в центре $C$ дифракционной картины?

«Объемная» дифракционная картина обладает вращательной симметрией относительно $C$. Первое темное кольцо соответствует $Z=3.83$.

Центр дифракционного изображения всегда лежит на геометрическом изображении. В точке $C$ имеем $$I(C)=\left(\pi \alpha_{0}^{2}\right)^{2} \cdot 4\left(\frac{J_{0}(0)}{0}\right)^{2}=\left(\pi \alpha_{0}^{2}\right)^{2}. \tag{6}$$ Интенсивность всегда равна квадрату площади зрачка $S$.

Этот результат кажется парадоксальным, но он легко объясним. Действительно, дифракционное пятно «размазывается» по поверхности обратно пропорционально поверхности зрачка. Следовательно, суммарный поток, равный объему «пространственной» дифракционной картины, пропорционален $S$.

A1.2  ^?? Найдите угловой радиус $\theta$ первого темного кольца на дифракционной картине ($\theta$ – угол, под которым радиус первого темного кольца виден из оптического центра $O$ линзы).

Так как первое темное кольцо соответствует $Z=3.83$, имеем
$$Z=\frac{2 \pi}{\lambda} \alpha \rho=\frac{2 \pi}{\lambda} \frac{r_{0}}{i} \rho=\frac{2 \pi}{\lambda} r_{0} \frac{\rho}{r}=\frac{2 \pi}{\lambda} r_{0} \theta=3.83;$$следовательно,
$$\theta=\frac{3.83 \lambda}{2 \cdot 3.14 r_{3}}=\frac{3.83 \cdot 0.6 \cdot 10^{-4}}{3.14 \cdot 6}.$$

B  ^?? Непрозрачный диск

B1.1  ^?? Найдите распределение амплитуды и интенсивности в плоскости $П$. Определите величину радиуса $r_{1}$ диска $D$, при котором уменьшение интенсивности не превышает $10\%$ интенсивности, определенной в вопросе A.

Исходя из общего выражения для амплитуды, можно написать $$A(M)=2 \pi \int_{0}^{\alpha_{0}} J_{0}(K \alpha \rho) \alpha d \alpha-2 \pi \int_{0}^{\alpha_{1}} J_{0}(K \alpha \rho) \alpha d \alpha \tag{7}$$ $$A(M)=\pi \alpha_{0}^{2} \frac{2 I_{1}\left(Z_{0}\right)}{Z}-\pi \alpha_{1}^{2} \frac{2 I_{1}\left(Z_{1}\right)}{Z_{1}} \tag{8}$$ где принято $Z_{0}=\pi \alpha_{0} \rho$ и $Z_{1}=\pi \alpha_{1} \rho$.

Тогда выражение для освещенности принимает вид $$J(M)=\pi^{2}\left\{\alpha_{0}^{4}\left[\frac{2 I_{1}\left(Z_{0}\right)}{Z_{0}}\right]^{2}+\alpha_{1}^{4}\left[\frac{2 I_{1}\left(Z_{1}\right)}{Z_{1}}\right]^{2}-2 \alpha_{0}^{2} \alpha_{1}^{2} \frac{2 I_{1}\left(Z_{0}\right)}{Z_{0}} \frac{2 I_{1}\left(Z_{1}\right)}{Z_{1}}\right\}. \tag{9}$$ Освещенность в точке $C$ равна $$I(C)=\pi^{2} \alpha_{0}^{4}\left[1-\left(\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{0}}\right)^{2}\right]^{2} \tag{10}$$ тогда как в случае открытого зрачка она была равна $\pi^{2} \alpha_{0}^{4}$.

Для уменьшения интенсивности не более чем на $0 \%$ необходимо, чтобы $${\left[1-\left(\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{0}}\right)^{2}\right]^{2} \geqslant 0.90, \quad так \quad что \quad 1-\left(\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{0}}\right)^{2} \geqslant 0.95,}$$ $$\left(\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}\right)^{2} \leqslant 0.05 \quad или\quad \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{0}} \leqslant 0.22$$ следовательно, \[\frac{r_{1}}{r_{0}} \leqslant 0.22\left\{\begin{array}{l} r_{0} - \quad радиус \quad объектива, \tag{11}\\ r_{1} - \quad радиус \quad непрозрачного \quad диска. \end{array}\right.\]

Примечание

Результат, получаемый из $(10)$, показывает, что мы не имеем права применять теорему Бабине вблизи геометрического изображения. Действительно, объектив, который имеет открытый зрачок радиусом $r_{1}$, дает в точке $C$ интенсивность $$ \pi^{2} \alpha_{1}^{4} \neq \pi^{2} \alpha_{0}^{4}\left[1-\left(\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{0}}\right)^{2}\right]^{2} \tag{12}$$

B1.2  ^?? Определите угловой радиус первого темного кольца в случае, когда $\alpha_{0}=2 \alpha_{1}$.

Радиус первого темного кольца

Амплитуда $A(M)$ равна нулю для таких значений $\rho$, когда $$\alpha_{0}^{2} \frac{J_{1}\left(Z_{0}\right)}{Z_{0}}-\alpha_{1}^{2} \frac{J_{1}\left(Z_{1}\right)}{Z_{1}}=0 \tag{13}$$ Возвращаясь к определению $Z_1$ и $Z_0$ и положив $m=\alpha_{1} / \alpha_{0}$, можно написать $$J_{1}\left(Z_{0}\right)=m J_{1}\left(m Z_{0}\right) \tag{14}$$ В особом случае, когда $m=0.5$, находим $$J_{1}\left(Z_{0}\right)=0.5 J_{1}\left(0.5 Z_{0}\right)$$ Используем таблицу $$ \begin{aligned} & Z_{0}=3.14, \quad J_{1}(3.14)-\frac{1}{2} J_{1}(1.57)=+0.00185 \\ & Z_{0}=3.15, \quad J_{1}(3.15)-\frac{1}{2} J_{1}(1.575)=-0.0023 \end{aligned} $$ В результате линейной интерполяции получаем $$Z_{0}=3.144$$ Таким образом, $$\theta=\frac{3.144 \lambda}{2 \cdot 3.14 \cdot r_{0}} \approx \frac{\lambda}{2 r_{0}}=\frac{6 \cdot 10^{-4}}{60};$$

B1.3  ^?? Графически сравните природу двух дифракционных пятен:

1. без экрана $D$,
2. с экраном $D$.

Оптические системы, содержащие в центре экран, встречаются в некоторых телескопах. Что происходит в этих случаях с разрешением компонент двойных звезд? Считайте, что компоненты звезд имеют одинаковую интенсивность.

Сравнение дифракционных изображений

На рис. 6 изображены распределения освещенности в зависимости от $Z$ для открытого зрачка и для непрозрачного диска. Можно видеть, что наличие непрозрачного центра приводит

• к уменьшению освещенности центрального пика,
• к небольшому улучшению разрешающей способности.

Примечание

На рис. 6 изображается только центральный максимум. Если изучаются значения интенсивности для $Z>3.14$, то обнаруживается, что кольца играют значительно более важную роль в случае кривой Эйри.

Можно рассматривать эту задачу, используя соотношение Гейзенберга: если уменьшаются размеры зрачка, то дифракционная картина расплывается. 

На практике этот пример реализуется в отражательных телескопах кассегренского типа, показанного на рис. 7. Такой прибор состоит из двух концентрических зеркал. Закрытие зрачка осуществляется при помощи маленького зеркала.

C1  ^?? Кольцеобразный зрачок

Теперь будем считать, что экран $D$ почти полностью закрывает объектив $O$ таким образом, что свет проходит только через бесконечно узкое кольцо. Какой будет структура дифракционной картины в плоскости $П$? Каким будет угловой радиус центрального дифракционного пятна?

Кольцеобразный зрачок

Можно считать, что прозрачное кольцо соответствует постоянному значению $\alpha_{0}$, так как оно считается бесконечно тонким. При этих условиях амплитуда света в точке $M$ становится равной
$$A(M)=2 \pi J_{0}\left(K \alpha_{0} \mathrm{\rho}\right). \tag{15}$$
На рис. 8 изображена зависимость $J_{0}(Z)$ от $Z$.

В этой задаче численные значения, приведенные в таблице, показывают, что уменьшение функции происходит не так быстро, как в случае диска Эйри. Первый минимум нулевого порядка на этой дифракционной картине соответствует первому
нулю функции $J_{0}(Z)$, а именно
$$Z=2.405$$что дает $\theta=0.77 \lambda /2 r_{0}$:

Примечания

1.  Если закрыть зрачок, то освещенность колец увеличивается за счет освещенности центрального пика.
2. Зрачок такого типа используется в фазово–контрастном микроскопе. Конденсор снабжен кольцеобразным зрачком. По сравнению с обычными наблюдениями при помощи микроскопа такое освещение приводит:

• к потере яркости,
• к улучшению разрешающей способности,
• к значительному возрастанию роли дифракционных полос, которые могут затруднить интерпретацию изображения.

D1  ^?? Хаотическое расположение идентичных экранов

Заменим экран $D$ тысячью маленьких непрозрачных экранов, хаотически распределенных в плоскости перед объективом $O$. Каждому экрану противолежит очень малый угол с вершиной в $C$, равный $\alpha_{2}$ и такой, что $\alpha_{2} / \alpha_{0}=10^{-2}$. Определите освещенность в плоскости $П$ на расстоянии, равном величине $30/1.22$, умноженной на радиус дифракционного пятна, образованного свободным объективом (в отсутствие маленьких экранов). Первоначально покажите, что условия таковы, что позволяют использовать теорему Бабине. В последней части этой задачи освещенность, создаваемая открытым зрачком в $C$, принимается равной единице.

Хаотическое расположение идентичных экранов

Теперь амплитуда в точке $M$ определяется выражением
$$A(M)=\iint_{{}^{открытый}_{зрачок}} e^{-jk\alpha \rho \cos \theta} \alpha d \alpha d \theta - \iint_{{}^{поверхность~малых}_{экранов}} e^{-jk\alpha \rho \cos \theta} \alpha d \alpha d \theta$$
$$A(M)=A_1(M)- A_2(M) \tag{16}$$
Первый интеграл уже оценивался в первом вопросе задачи. Второй интеграл представляет собой амплитуду света, дифрагировавшего на $N$ отверстиях, каждое из которых имеет те же размеры, что и малые непрозрачные экраны
$$A_{2}(M)=a_{n}(M) \sum_{n=1}^{N} e^{j K \delta_{n}} \tag{17}$$
($a_{0}$ – амплитуда света, дифрагировавшего на малом отверстии, расположенном на оси прибора).
 

Применение принципа Бабине

В этой задаче фиксируется расстояние $C M=\rho_{2}$. Если обозначить через $\rho_{1}$ радиус центрального дифракционного пятна, создаваемого открытым зрачком, то получим
$$\rho_{2}=\frac{30}{1.22} \rho_{1},  \tag{18}$$
$$\rho_{1}=\frac{1.22 \lambda}{2 \alpha_{0}}. \tag{19}$$
Torдa
$$\rho_{2}=\frac{30 \lambda}{2 \alpha_{0}} \tag{20}$$
Вычисляя амплитуду дифрагированного света для открытого зрачка в этой точке, получаем
$$A_{1}(M)=\pi \alpha_{0}^{2} \frac{2 J_{1}(Z)}{Z} \quad с \quad Z=\frac{2 \pi}{\lambda} a_{0} o_{2}=30 \pi.$$
Для большого значения $Z$ функция Бесселя первого порядка практически равна нулю. В этом особом случае можно утверждать, что
$$|A(M)|=\left|A_{2}(M)\right|, \tag{21}$$
следовательно,
$$I(M)=I_{2}(M),$$
так что наконец
$$I(M)=\left|a_{0}(M)\right|^{2} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{N} e^{j K \delta_{n}} \cdot e^{-j K \delta_{n}}$$
Поскольку фазовое распределение является случайным, можно считать, что оно имеет как положительные, так и отрицательные члены.

Предыдущее уравнение дает
$$I(M)=N\left|a_{0}(M)\right|^{2} \tag{22}$$
Несмотря на то что освещение когерентно, хаотическое распределение экранов нарушает фазовые соотношения; интенсивности суммируются так же, как в случае некогерентного освещения.

Точка $M$ достаточно удалена от геометрического изображения, так что можно применить принцип Бабине.

Численный пример

$$ a_{0}(M)=\pi \alpha_{2}^{2} \frac{2 J_{1}\left(Z_{2}\right)}{Z_{2}} $$ где $$ Z_{2}=\frac{2 \pi}{\lambda} \rho_{2} \alpha_{2}=\frac{2 \pi}{\lambda} \frac{30 \lambda}{2 \alpha_{0}} \cdot 10^{-2} \alpha_{0} \approx 1$$ но $$2 J_{1}(1) \approx 1 $$ Таким образом, имеем $$ I(M)=N \pi^{2} \alpha_{2}^{4}=N \pi^{2} \alpha_{0}^{4}\left(\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{0}}\right)^{4}$$ Отсюда нормированная интенсивность $$I(M)=N\left(\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{0}}\right)^{4}=10^{3} \cdot 10^{-8}$$ 

E1  ^??

Аподизация: поглощающий зрачок

Зрачок неравномерно прозрачен, как это было в предыдущем случае. Пропускание таково, что
\[\begin{array}{lll}
\tau(\alpha)=e^{-a \alpha^{2}}\quad для \quad 0<\alpha<\alpha_{0},\\
\tau(\alpha)=0 \quad для \quad \alpha>\alpha_{0}. \tag{23}
\end{array}\]
Теперь общее выражение для амплитуды в точке $M$ имеет вид
$$\int_{0}^{\alpha_{0}} \int_{0}^{2 \pi} e^{-a \alpha^{2}} e^{-j K \alpha \rho \cos \theta} d \alpha d \theta \tag{24}$$
B точке $C$
$$A(C)=\int_{0}^{\alpha_{0}} \int_{0}^{2 \pi} e^{-a \alpha^{2}} \alpha d \alpha d \theta=\pi \int_{0} e^{-a \alpha^{2}} d\left(\alpha^{2}\right), $$
$$A(C)=\frac{\pi}{a}\left(1-e^{-a \alpha_{0}^{2}}\right), \quad отсюда \quad I(C)=\frac{\pi^{2}}{a^{2}}\left[1-e^{-a \alpha_{0}^{2}}\right]^{2}. \tag{25}$$
Если $a \alpha_{0}^{2}$ очень мало, как это имеет место в данном случае, то можно представить разложение в ряд
$$A(C)=\frac{\pi}{a}\left[1-1+a \alpha_{0}^{2}-\frac{a^{2} \alpha_{0}^{4}}{2}\right]=\pi \alpha_{0}^{2}\left[1-\frac{a \alpha_{0}^{2}}{2}\right].$$
После введения пластинки имеем $A(C)=\pi \alpha_{0}^{2}$.

Отсюда нормированная интенсивность
$$I(C)=\left[1-\frac{a \alpha_{0}^{2}}{2}\right]^{2} \tag{26}$$

Численный пример

$$\alpha_{0}=\frac{1}{5}, \quad a=1,$$ $$I(C)=[1-0.02]^{2}=1-0.04=\frac{93}{100}.$$

Примечание

Возвращаясь к общему вычислению амплитуды, мы видим, что величины $\alpha$ и $\rho$ являются сопряженными переменными (если принять длину волны в качестве единицы длины).

Результаты B, и D1 также могут быть сформулированы на языке преобразования Фурье. 

• Первый пример: сужение размера $\alpha$ ведет к расширению размера $\rho$.
• Второй пример: пропускание зрачка описывается гауссовой функцией $\tau(\alpha)=e^{-a \alpha^{2}}$. Зная, что преобразованием Фурье для гауссовой функции является гауссова функция, можно сразу предсказать для амплитуд гауссово распределение в плоскости изображения (рис. 9). Не входя в детали, мы показываем на рисунке поперечное сечение «объемной» дифракционной картины с аподизирующей пластинкой и без нее. Аподизация вызывает исчезновение дифракционных колец, однако она не уменьшает разрешающую способность прибора.

F1  ^?? Фокусирующие дефекты

Пластинка, используемая в предыдущем вопросе, заменяется теперь совершенно прозрачной пластинкой, которая имеет равномерно изменяющуюся толщину. Изменение толщины, как и в вопросе E1, обладает цилиндрической симметрией относительно оптической оси объектива. Изменение толщины пластинки обусловливает изменение фазы (из-за разности хода), зависимость которой от $\alpha$ имеет вид $\varepsilon \alpha^{2}/2$, где $\varepsilon$ – коэффициент, который соответствует максимальной разности хода. Определите освещенность в точке $C$. Исследуйте изменение освещенности в центре дифракционной картины в зависимости от разности фаз $\Phi=\pi \varepsilon \alpha_{0}^{2} / \lambda$ ($\lambda$ – длина волны используемого света). Начертите кривую для значений $\Phi$ от $0$ до $4\pi$.

Покажите, что в случае удаления пластинки $L$ и медленного смещения фокальной плоскости параллельно самой себе до некоторой точки изменение освещенности в центре дифракционной картины характеризуется этой же кривой.

Фазовая пластинка, фокусирующие дефекты

Пластинка $L$ с равномерным пропусканием вызывает переменный фазовый сдвиг
\[\begin{array}{lll}
\tau(\alpha)=e^{-j K \varepsilon \alpha / 2} \quad для \quad 0<\alpha<\alpha_{0}, \\
\tau(\alpha)=0\quad для \quad\alpha>\alpha_{0}. \tag{27}
\end{array}\]
Имеем
$$(AC)=\int_{0}^{\alpha_{0}} \int_{0}^{2\pi}e^{j K\varepsilon \alpha^{2}/2}\alpha d\alpha d \theta=2\pi \int_{0}^{\alpha}e^{-j K\varepsilon \alpha^{2}/2} d\left(\frac{\alpha^{2}}{2}\right)=\frac{2 \pi}{-jK\varepsilon}\left[e^{-jK\varepsilon \alpha^{2}/2}\right]_{0}^{\alpha_{0}}. \tag{28}$$
$$A(C)=\frac{2 \pi}{j K \varepsilon}\left[1-e^{-j \Phi}\right] \tag{29}$$
Теперь амплитуда в точке $C$ является комплексной величиной. Интенсивность становится равной
$$I(C)=A(C) \cdot A^{*}(C)$$
так что
$$I(C)=\frac{4 \pi^{2}}{K^{2} \varepsilon^{2}}[1-\cos \Phi]=\frac{16 \pi^{2}}{K^{2} \varepsilon^{2}} \sin ^{2} \frac{\Phi}{2}$$
$$ I(C)=\alpha_{0}^{4}\left(\frac{\sin \Phi / 2}{\Phi / 2}\right)^{2}. \tag{30}$$
Зависимости $I(C)$ от $\Phi$ показаны на рис. 10.

Фокусируюшие дефекты

Сместите плоскость наблюдения на расстояние $CC'=\varepsilon$. Согласно закону Малюса и принципу Ферма, разность хода $\Delta$ между лучом, проходящим через $C$, и лучом, проходящим через $C'$, равна расстоянию между фронтом отклоненной волны с центром в точке наблюдения $C'$ и сферой с центром на гауссовом изображении (рис. 11). 

Тогда находим $$\Delta=I J=C J-I K-K C=R-C^{\prime} I-K C=R-(R-\varepsilon)-\varepsilon \cos a.$$ $$\Delta=\varepsilon(1-\cos \alpha)=\frac{\varepsilon \alpha^{2}}{2}.$$ Можно видеть, что введенная выше фазовая пластинка производит тот же фазовый сдвиг, что и фокусирующий дефект.

Примечание

Используя предыдущие результаты, можно видеть, что центр дифракционного изображения будет попеременно то ярким, то темным, если перемещать фокусирующую плоскость от одной стороны гауссова изображения до другой. Этот метод используется в промышленности для проверки объективов. Действительно периодическая последовательность ярких и темных центральных изображений осуществляется лишь в том случае, когда объектив свободен от аберраций.