1  ^?? высоту $H$ атмосферы Земли;

Рассмотрим перемещение одного моля воздуха в атмосфере. В адиабатическом приближении по закону сохранения энергии работа внешнего по отношению к выделенной порции воздуха давления расходуется на изменение внутренней $U$ и потенциальной $\mu \mathrm{gz}$. Toгда
$$
P_{1} V_{1}-P_{2} V_{2}=U_{2}-U_{1}+\mu g\left(z_{2}-z_{1}\right) .
$$
Перегруппировав слагаемые, получаем
$$
c_{p} \Delta T=-\mu g \Delta z .
$$
Отсюда получаем зависимость температуры от высоты:
$$
T=T_{0}-\frac{\mu g}{c_{p}} z=T_{0}-\frac{2 \mu g}{7 R} z.
$$
Высоту атмосферы можно оценить по высоте, при которой температура воздуха обращается в абсолютный ноль:
$$
H \approx \frac{7 R T_{0}}{2 \mu g} \approx 30~км.
$$

2  ^?? высоту $h_{0}$ нижней кромки облаков.

Нижняя кромка облаков образуется в точке росы, то есть на такой высоте $h_{0}$, при которой парциальное давление водяного пара сравнивается с давлением насыщенного пара $P(z)$, учитывая, что на поверхности Земли давление пара $P_{0}=\varphi P_{H}\left(T_{0}\right)$.
По законам гидростатики парциальное давление водяного пара c высотой изменяется по закону:
$$
\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g.
$$
Так как $h_{0} \ll H$, то можно считать изменения температуры и давления воздуха малыми, поэтому его плотность практически постоянна и равна $\rho \approx P_{0} \mu_{H_{2} O} / R T_{0}$. Тогда давление изменяется по линейному закону:
$$
\frac{P(z)}{P_{H}\left(T_{0}\right)} \approx \frac{P_{0}}{P_{H}\left(T_{0}\right)}-\frac{\rho g z}{P_{H}\left(T_{0}\right)}=\varphi\left(1-\frac{\mu_{H_{2} O} g z}{R T_{0}}\right).
$$
Используя таблицу зависимости давления насыщенного пара от температуры и зная зависимость температуры от высоты, построим график зависимости давления насыщенного пара от высоты $P_{H}(z) / P_{H}\left(T_{0}\right)$ (см. рисунок).

На этой же координатной плоскости построим график зависимости парциального давления водяного пара $P(z) / P_{H}\left(T_{0}\right)$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет искомой высотой.
Из графиков получаем, что $h_{0} \approx 0.43~км$. Заметим, что на этой высоте парциальное давление паров понизилось примерно на $6 \%$ по сравнению с давлением у поверхности Земли, а температура менее, чем на $2 \%$, что вполне оправдывает наши приближения.