Для определения зависимости $E_{r}(r)$ вблизи положения равновесия воспользуемся теоремой Гаусса: поток вектора $\vec{E}$ через поверхность соосного с заряженным небольшого цилиндра (радиус основания $r$, высота $2 x$ ($x \ll r \ll R, H$) равен нулю. Для начала найдем $E_{x}(x)$. Это поле однородно заряженного кольца высотой $2 x$, лежащего на дальнем от текущей точки крае цилиндра. Заряд кольца - $2 x Q / H$. Расстояние до точки наблюдения $L \approx \sqrt{R^{2}+H^{2} / 4}$. Тогда поле кольца на оси
$$
E_{x}(x)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{H} 2 x \cdot \frac{1}{L^{2}} \cdot \frac{H}{2 L}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{L^{3}} x.
$$
Вычислим величины потоков: $\Phi_{осн}$ через основание и $\Phi_{бок}$ через боковую поверхность гауссова цилиндра:
$$
\Phi_{осн}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{L^{3}} x \cdot \pi r^{2}, \quad \Phi_{бок}=2 \pi r \cdot 2 x \cdot E_{r}(r).
$$
По теореме Гаусса $2 \Phi_{ocн}+\Phi_{бок}=0$, значит,
$$
2 \pi r \cdot 2 x \cdot E_{r}(r)=-2 \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{L^{3}} x \cdot \pi r^{2} .
$$
Отсюда получаем, что в плоскости кольца при смещении $r$ из центра величина вектора напряженности пропорциональна смещению:
$$
E_{r}(r)=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{2 L^{3}} r.
$$
Уравнение движения бусинки
$$
m \ddot{r}=q E_{r}(r)=-q \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{2 L^{3}} r.
$$
Частота гармонических колебаний
$$
\omega=\sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{m} \frac{Q}{2 L^{3}}}=\frac{1}{L} \sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\gamma Q}{2 L}},
$$
Период
$$
T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \sqrt{2} \pi L \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} L}{\gamma Q}}.
$$