Радиус-вектор произвольной частицы $a$ твердого тела в инерциальной системе отсчета\begin{equation*} \vec{r}_{a}(t)=\vec{R}(t)+\vec{c}_{a}(t) \tag{1} \end{equation*}где $\vec{R}(t)=\left(R_{x}, R_{y}, R_{z}\right)$ – радиус-вектор центра масс точки $O^{\prime}$ твердого тела, $\vec{c}_{a}(t)$ – радиус-вектор частицы в системе $K^{\prime}$, жестко связанной с телом. Длина вектора $\vec{c}_{a}(t)$ – постоянная величина.
Скорость частицы$$ \vec{v}_{a}(t)=\vec{v}(t)+\vec{v}_{a}^{\prime}(t), $$где $\vec{v}(t)=\mathrm d \vec{R} / \mathrm d t$ – скорость точки $O^{\prime}, \vec{v}_{a}^{\prime}(t)=\mathrm d \vec{c}_{a} /\mathrm d t$ – скорость частицы относительно точки $O$.
Производная\begin{equation*} \frac{\mathrm d \vec{c}_{a}}{\mathrm d t}=\vec{\omega} \times \vec{c}_{a}, \tag{2} \end{equation*}где $\vec{\omega}(t)$ – угловая скорость твердого тела. Следовательно, скорость частицы $a$ твердого тела всегда можно представить в виде\begin{equation*} \vec{v}_{a}(t)=\vec{v}+\vec{\omega} \times \vec{c}_{a}. \tag{3} \end{equation*}Из $(3)$ следует соотношение, связывающее скорости произвольно выбранных двух точек твердого тела:\begin{equation*} \vec{v}_{a}(t)=\vec{v}_{k}(t)+\vec{\omega} \times \vec{r}_{k a}(t) ,\tag{4} \end{equation*}где $\vec{v}_{a}(t)$, $\vec{v}_{k}(t)$ – скорости точек $a$ и $k$ твердого тела, $\vec{r}_{k a}=\vec{c}_{a}-\vec{c}_{k}$ – вектор, с началом в точке $k$. Таким образом, скорость любой точки $a$ твердого тела представлена в виде суммы скоростей другой произвольной точки $k$ и скорости вращения точки $a$ относительно точки $k$ с той же угловой скоростью, с которой вращается само твердое тело.
Следствие: $\vec{v}_{a} \cdot \vec{r}_{k a}=\vec{v}_{k} \cdot \vec{r}_{k a}$ – проекции скоростей $\vec{v}_{a}$ и $\vec{v}_{k}$ на прямую $k a$ одинаковы.
Пусть вектор $\vec{r}_{k b}$, перпендикулярен угловой скорости. Всегда можно найти некоторую точку $b$, скорость которой равна нулю. Поскольку $\vec{\omega} \cdot \vec{r}_{k b}=0$, то из уравнения $\vec{0}=$ $\vec{v}_{k}+\vec{\omega} \times \vec{r}_{k b}$ найдем положение точки $b$:$$ \vec{r}_{k b}=\vec{\omega} \times \vec{v}_{k} / \omega^{2}. $$Скорости остальных точек приобретают вид$$ \vec{v}_{a}=\vec{\omega} \times \vec{r}_{b a}, \vec{v}_{k}=\vec{\omega} \times \vec{r}_{b k}, \ldots $$Следовательно, распределение скоростей точек твердого тела в данный момент времени $t$ представлено как результат чистого вращения вокруг оси, проходящей через точку $b$. Эту ось называют мгновенной осью вращения. Положение оси можно найти по известным скоростям двух точек. В частности, мгновенная ось вращения проходит через две неподвижные в данный момент времени точки твердого тела.
Лист фанеры движется в пространстве.
Совместим точку $O^{\prime}$ с центром масс. Импульс твердого тела массы $m$\begin{equation*} \vec{P}=m \vec{v} ,\tag{5} \end{equation*}где $\vec{v}$ – скорость центра масс.
Момент импульса твердого тела\begin{gather*} \vec{L}=m \vec{R} \times \vec{v}+\vec{L}_{c}, \tag{6}\\ \vec{L}_{c}=\sum_{a=1}^{N} m_{a} \vec{c}_{a} \times\left(\vec{\omega} \times \vec{c}_{a}\right) ,\tag{7} \end{gather*}где $\vec{L}_{c}$ – момент импульса тела в системе центра масс.
В случае плоскопараллельного движения тела $\vec{\omega}=(0,0, \omega)$. Тогда\begin{gather*} \vec{L}_{c}=J_{c} \vec{\omega}, \tag{8}\\ J_{z c}=\sum_{a=1}^{N} m_{a}\left[\left(c_{a s}\right)^{2}+\left(c_{a y}\right)^{2}\right] ,\tag{9} \end{gather*}где $J_{c}$ – величина, называемая моментом инерции тела относительно оси $z^{\prime}$.
При переходе к непрерывному распределению массы твердого тела следует перейти от суммы по частицам в $(9)$ к определенному интегралу$$ J_{z c}=\frac{m}{V} \int\left(x^{2}+y^{2}\right)\,\mathrm d V, $$где $V$ – объем тела.
$$
K=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{J_{z c} \omega^{2}}{2}
$$
$$
\begin{gathered}
J_{z}=m R^{2}+J_{z c} ,\\
K=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{J_{z c} \omega^{2}}{2}~\overset{v=\omega R}{=}~\frac{J_{z} \omega^{2}}{2} ,\\ \vec{L}=m \vec{R} \times \vec{v}+\vec{L}_{c}=J_{z} \vec{\omega}
\end{gathered}
$$
Движение твердого тела описывается системой шести уравнений.\begin{align*}
& m \vec{a}_{c}=\vec{F}, \tag{10}\\
& \frac{\mathrm d \vec{L}_{c}}{\mathrm d t}=\vec{M}_{c} ,\tag{11}
\end{align*}где
Уравнение $(11)$ следует из уравнения
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d \vec{L}}{\mathrm d t}=\vec{M}, \tag{12}
\end{equation*}где
В случае плоскопараллельного движения осесимметричного тела вокруг фиксированной оси получим из $(12)$ уравнение\begin{equation*}
J_{z} \frac{\mathrm d \omega}{\mathrm d t}=M_{z} .\tag{13}
\end{equation*}
В вершинах квадрата со стороной \( 2a \) расположены массы \( m \) и \( M \) (рис. 1).
Найдите компоненты тензора инерции относительно:
Найдите момент инерции:
На горизонтальной шероховатой поверхности находится обруч радиуса \( R \), склеенный из двух однородных половинок массами \( m_1 \) и \( m_2 \).
Два одинаковых тонких обруча массы \( m \) и радиуса \( r \) жёстко скреплены в одной точке так, что их плоскости образуют угол \( \alpha \).
Три маленьких одинаковых шара (обозначим их A, B, C) массы \( m \) каждый соединены с двумя невесомыми стержнями длиной \( l \) так, что один из стержней соединяет шары A и B, а другой стержень соединяет шары B и C. Соединения с шаром B - шарнирные, а угол между стержнями может изменяться без приложения усилий. Система покоится в невесомости так, что все шары находятся на одной линии. Шару A мгновенно сообщают скорость, перпендикулярную стержням.
Рассмотрим теорию, описывающую падение костяшек. Введем обозначения:
Обратим внимание, что скорость распространения волны падающих домино довольно быстро устанавливается, то есть зависимость $t_n$ от $n$ становится линейной.
На процесс распространения волны возбуждения в ряде домино влияет большое количество факторов, которые трудно учесть вместе. В их число входят, например, проскальзывание по поверхности и трение между костяшками.
В этой задаче будем рассматривать простейшую модель распространения волны домино, которая включает в себя следующие допущения:
Прямоугольный ковёр малой толщины \( d \), массы \( m \) и длины \( L \) плотно намотали по его длине, положили на горизонтальную шероховатую поверхность (начальная нижняя точка остаётся неподвижной) и отпустили без начальной скорости. Ускорение свободного падения \( g \).
Настоящее время разматывания ковра, пренебрегая членами порядка \( T_0 \left( \frac{d}{L} \right)^{\alpha+1} \), можно представить в виде
\[
T_1 = T_0 \left( 1 + k \left( \frac{d}{L} \right)^{\alpha} \right).
\]
Прямая однородная тонкая соломинка покоится на гладкой доске. На каждом ее конце сидит по блохе.
По гладкой внутренней поверхности закреплённой сферы радиуса \( R \) движется маленькая шайба. В момент старта шайба находится в горизонтальной плоскости, содержащей центр сферы, начальная скорость шайбы горизонтальна и равна \( \omega R \). Считая, что \( \omega^2 R \gg g \).
Два одинаковых однородных шара, вращающихся с одинаковыми по величине угловыми скоростями \(\omega\), медленно сблизившись, жестко состыковываются друг с другом.
Определите закон движения образовавшегося тела. Найдите, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло. До состыковки угловые скорости шаров были направлены:
Однородный шар радиуса \(r\) и массы \(m\) катится, не проскальзывая, по горизонтальной плоскости со скоростью \(v\). В момент, когда он касается другого такого же шара, лежавшего неподвижно, шары жестко скрепляются (рис. 3). Плоскость абсолютно гладкая (после скрепления шары свободно скользят по ней).
Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся диск, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости (рис. 5).
Теперь моменты инерции свободно вращающегося волчка равны $I_1>I_2>I_3$.
Подсказка: удобнее искать зависимость угловой скорости от времени в виде $\omega=\omega_0 e^{\alpha t}$
Сосуд, частично заполненный постепенно затвердевающей эпоксидной смолой (рис.6), приводят во вращение с угловой скоростью \( \omega_2 \) вокруг оси \( AB \), которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси \( CD \) с угловой скоростью \( \omega_1 \).
Гладкий параболоид $2z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}$ вращается вокруг вертикальной оси $z$ с угловой скоростью $\omega$.
Однородный шар движется внутри конуса с углом раствора \( \theta \) без проскальзывания таким образом, что точка касания шара движется по окружности радиуса \( l \gg R \), а геометрическое место точек касания на шаре — окружность радиуса \( r < R \).
На концах однородного стержня длины \( L = 0{,}8 ~ \text{м} \) закреплены два маленьких лёгких ролика, которые могут свободно вращаться только вокруг оси, направленной вдоль стержня. Система располагается на горизонтальной поверхности, коэффициент трения скольжения между роликами и поверхностью равен \( \mu \), трение качения отсутствует.
Концам стержня сообщают скорости \( v_1 = 1 ~\frac{\text{м}}{\text{с}} \) и \( v_2 = 2{,}5 ~\frac{\text{м}}{\text{с}} \), направленные в одну сторону перпендикулярно стержню.
Здесь и далее считайте, что \( \mu = 0{,}1 \).
Стержень помещают на наклонную плоскость, составляющую угол \( \theta \) с горизонтом. Начальная скорость центра стержня равна нулю, а его угловая скорость -- \( \omega_0 \). В процессе движения стержень по наклонной плоскости не проскальзывает.
Шар, катящийся по вертикальной цилиндрической стенке, иногда демонстрирует необычное поведение. Игроки в гольф бывают удивлены поведением мяча, который только что вошел в лунку. Рассмотрим следующую модель явления:
На рисунке изображен мяч на стенке лунки в некоторый момент времени. Азимутальная координата мяча задается углом \( \phi \), угловая скорость вращения мяча вокруг оси лунки — \( \Omega \). \( \hat{r} \), \( \hat{\varphi} \), \( \hat{z} \) — орты цилиндрической системы координат (радиальное, азимутальное и вертикальное направление соответственно).
Примечание. Вам может пригодиться дифференцирование орт цилиндрической системы координат:
\[
\frac{d\hat{r}}{dt} = \Omega \hat{\varphi}, \quad
\frac{d\hat{\varphi}}{dt} = -\Omega \hat{r}, \quad
\frac{d\hat{z}}{dt} = 0.
\]
На симметричное тело с неподвижным центром масс, имеющее главные моменты инерции \( I_x = I_y > I_z \), вектор угловой скорости которого в начальный момент равен \( \vec{\omega} = (\omega_x, \omega_y, \omega_z) \) действует момент сил, равный \( M = -\alpha \vec{\omega} \).
Рассмотрим частный случай равномерного кругового движения колеса, т.е. когда точка его соприкосновения с поверхностью перемещается с постоянной скоростью, описывая окружность радиуса $r$ вокруг вертикальной оси $z$. При этом $\theta(t)=\theta=\operatorname{const}$, а $\varphi(t)$ – линейная функция времени. В лабораторной системе отсчёта $\Sigma$ можно, не умаляя общности, положить:\[\left(\begin{array}cx(t)\\y(t)\end{array}\right)=r\left(\begin{array}c-\sin\omega t\\\cos\omega t\end{array}\right),\]где $\omega$ – угловая скорость, которую ещё предстоит найти. В системе отсчёта $\Sigma'$, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $z$, углы $\theta$ и $\varphi$ постоянны, а колесо вращается вокруг сохраняющей ориентацию оси симметрии. В этой системе отсчёта на каждый участок колеса буду также действовать центробежная сила и сила Кориолиса.
Если же колесо катится с достаточно большой скоростью, вертикальное положение $\theta=0$ может оказаться устойчивым. В этом случае можно считать, что центр масс колеса движется с почти постоянной скоростью $V$ в положительном направлении оси $x$. Тогда в первом приближении можно записать $x(t)=Vt+\delta x(t)$, где $\delta x(t)$ – малая величина, меняющаяся по гармоническому закону с некоторой угловой скоростью $\Omega$ (как и $y(t)$, $\theta(t)$ и $\varphi(t)$).