Pho.rs: Движение твердого тела

Условие

Edu

Плоскопараллельное движение абсолютное твёрдого тела

Теоретическое введение

Радиус-вектор произвольной частицы $a$ твердого тела в инерциальной системе отсчета\begin{equation*} \vec{r}_{a}(t)=\vec{R}(t)+\vec{c}_{a}(t) \tag{1} \end{equation*}где $\vec{R}(t)=\left(R_{x}, R_{y}, R_{z}\right)$ – радиус-вектор центра масс точки $O^{\prime}$ твердого тела, $\vec{c}_{a}(t)$ – радиус-вектор частицы в системе $K^{\prime}$, жестко связанной с телом. Длина вектора $\vec{c}_{a}(t)$ – постоянная величина.

Скорость частицы$$ \vec{v}_{a}(t)=\vec{v}(t)+\vec{v}_{a}^{\prime}(t), $$где $\vec{v}(t)=\mathrm d \vec{R} / \mathrm d t$ – скорость точки $O^{\prime}, \vec{v}_{a}^{\prime}(t)=\mathrm d \vec{c}_{a} /\mathrm d t$ – скорость частицы относительно точки $O$.

Производная\begin{equation*} \frac{\mathrm d \vec{c}_{a}}{\mathrm d t}=\vec{\omega} \times \vec{c}_{a}, \tag{2} \end{equation*}где $\vec{\omega}(t)$ – угловая скорость твердого тела. Следовательно, скорость частицы $a$ твердого тела всегда можно представить в виде\begin{equation*} \vec{v}_{a}(t)=\vec{v}+\vec{\omega} \times \vec{c}_{a}. \tag{3} \end{equation*}Из $(3)$ следует соотношение, связывающее скорости произвольно выбранных двух точек твердого тела:\begin{equation*} \vec{v}_{a}(t)=\vec{v}_{k}(t)+\vec{\omega} \times \vec{r}_{k a}(t) ,\tag{4} \end{equation*}где $\vec{v}_{a}(t)$, $\vec{v}_{k}(t)$ – скорости точек $a$ и $k$ твердого тела, $\vec{r}_{k a}=\vec{c}_{a}-\vec{c}_{k}$ – вектор, с началом в точке $k$. Таким образом, скорость любой точки $a$ твердого тела представлена в виде суммы скоростей другой произвольной точки $k$ и скорости вращения точки $a$ относительно точки $k$ с той же угловой скоростью, с которой вращается само твердое тело.

Следствие: $\vec{v}_{a} \cdot \vec{r}_{k a}=\vec{v}_{k} \cdot \vec{r}_{k a}$ – проекции скоростей $\vec{v}_{a}$ и $\vec{v}_{k}$ на прямую $k a$ одинаковы.

Мгновенная ось вращения

Пусть вектор $\vec{r}_{k b}$, перпендикулярен угловой скорости. Всегда можно найти некоторую точку $b$, скорость которой равна нулю. Поскольку $\vec{\omega} \cdot \vec{r}_{k b}=0$, то из уравнения $\vec{0}=$ $\vec{v}_{k}+\vec{\omega} \times \vec{r}_{k b}$ найдем положение точки $b$:$$ \vec{r}_{k b}=\vec{\omega} \times \vec{v}_{k} / \omega^{2}. $$Скорости остальных точек приобретают вид$$ \vec{v}_{a}=\vec{\omega} \times \vec{r}_{b a}, \vec{v}_{k}=\vec{\omega} \times \vec{r}_{b k}, \ldots $$Следовательно, распределение скоростей точек твердого тела в данный момент времени $t$ представлено как результат чистого вращения вокруг оси, проходящей через точку $b$. Эту ось называют мгновенной осью вращения. Положение оси можно найти по известным скоростям двух точек. В частности, мгновенная ось вращения проходит через две неподвижные в данный момент времени точки твердого тела.

Задачи. Кинематика абсолютно твёрдого тела

Стержень $A B$ движется в вертикальной плоскости. Величина скорости точки $A$, направленной вдоль стержня, $v_{A}=v_{0} / \sqrt{2}$; величина скорости середины стержня $v_{c}=v_{0}$.

1 Найдите величину скорости $v_{B}$ точки $B$. Найдите угловую скорость $\omega$ вращения стержня, если его длина равна $l$.

Кусок фанеры в форме равностороннего треугольника $A B C$ движется в вертикальной плоскости. В некоторый момент времени сторона $A C$ находится на вертикали. Скорость точки $B$ направлена по горизонтали. Скорость точки $A$ образует прямой угол с отрезком $A K$, перпендикулярным основанию треугольника. Модуль скорости $v_{A}=v_{0}$.

2 Найдите модуль скорости $\vec{v}_{C}$.

Лист фанеры движется в пространстве.

3.1 В некоторый момент времени скорости двух точек листа $a$ и $b$ перпендикулярны плоскости листа, $\vec{v}_{a}=\vec{v}_{b}=\vec{v}$. Скорость точки $c$ на расстоянии $l$ от отрезка $a b$ равна $\vec{v}_{c}=2 \vec{v}$. Найдите геометрическое место множества точек $k$ листа, имеющих скорость $\vec{v}_{k}=3 \vec{v}$.

3.2 В некоторый момент времени скорости двух точек листа $a$ и $b$ лежат в плоскости листа, $\vec{v}_{a}=$ $\vec{v}_{b}=\vec{v}$. Величина скорости точки $c$ на расстоянии $l$ от середины отрезка $a b$ равна $2 v$. Найдите геометрическое место множества точек $k$ листа, имеющих скорость $v_{k}=3 v$.

Два жестких стержня (длиной $l$ каждый) шарнирно соединены концами в точке $A$. Стержень $B A$ жестко закреплен в точке $B$, а точка $C$ стержня $A C$ может скользить вдоль направляющей $B C$. Стержень $B A$ начинают вращать в плоскости рисунка вокруг точки $B$ с постоянной угловой скоростью $\omega$.

4 Чему будут равны максимальная скорость и ускорение точки $C$? В начальный момент стержни вытянуты вдоль направляющей $B C$. Движение стержней происходит в плоскости рисунка.

Стержень $O A$, вращающийся вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку $O$, соединен шарниром со стержнем $A B$. Конец стержня $B$ связан шарниром с ползуном, движущемся по горизонтальной направляющей прямой. Длина каждого стержня $R$, скорость точки $B$ постоянная величина $v_{B x}=-v_{0}$.

5 Найдите ускорение точки $A$ как функцию угла $\varphi$.

Нерастяжимая нить длиной $L$ соединяет две бусинки $A$ и $B$. Бусинку $B$ передвигают с постоянной скоростью $v_{0}$ по прямой спице $MO$. В результате этого бусинка $A$ движется по спице $C D$, изогнутой в виде дуги окружности радиусом $R=L \sqrt{3}$.

6 Найдите ускорение бусинки $A$ в тот момент, когда бусинка $B$ будет на расстоянии $L$ от точки $O$.

По рельсам равномерно движется вагонетка. Радиус ее колеса $r$, а радиус реборды больше. В некоторый момент скорости двух диаметрально противоположных точек $A$ и $B$ обода колеса равны по модулю $v_{{A}}$ и $v_{{B}}$. С какой скоростью катится колесо? В этот же момент времени скорость точки $C$, находящейся на реборде, направлена вертикально и равна $v_{\mathrm{C}}$.

7 Определите вертикальную проекцию ускорения $a_{\mathrm{C}}$ этой точки.

Динамические переменные твердого тела

Совместим точку $O^{\prime}$ с центром масс. Импульс твердого тела массы $m$\begin{equation*} \vec{P}=m \vec{v} ,\tag{5} \end{equation*}где $\vec{v}$ – скорость центра масс.

Момент импульса твердого тела\begin{gather*} \vec{L}=m \vec{R} \times \vec{v}+\vec{L}_{c}, \tag{6}\\ \vec{L}_{c}=\sum_{a=1}^{N} m_{a} \vec{c}_{a} \times\left(\vec{\omega} \times \vec{c}_{a}\right) ,\tag{7} \end{gather*}где $\vec{L}_{c}$ – момент импульса тела в системе центра масс.

В случае плоскопараллельного движения тела $\vec{\omega}=(0,0, \omega)$. Тогда\begin{gather*} \vec{L}_{c}=J_{c} \vec{\omega}, \tag{8}\\ J_{z c}=\sum_{a=1}^{N} m_{a}\left[\left(c_{a s}\right)^{2}+\left(c_{a y}\right)^{2}\right] ,\tag{9} \end{gather*}где $J_{c}$ – величина, называемая моментом инерции тела относительно оси $z^{\prime}$.

При переходе к непрерывному распределению массы твердого тела следует перейти от суммы по частицам в $(9)$ к определенному интегралу$$ J_{z c}=\frac{m}{V} \int\left(x^{2}+y^{2}\right)\,\mathrm d V, $$где $V$ – объем тела.

Кинетическая энергия твердого тела

$$
K=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{J_{z c} \omega^{2}}{2}
$$

Теорема Гюйгенса–Штейнера

$$
\begin{gathered}
J_{z}=m R^{2}+J_{z c} ,\\
K=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{J_{z c} \omega^{2}}{2}~\overset{v=\omega R}{=}~\frac{J_{z} \omega^{2}}{2} ,\\ \vec{L}=m \vec{R} \times \vec{v}+\vec{L}_{c}=J_{z} \vec{\omega}
\end{gathered}
$$

Уравнения движения твердого тела

Движение твердого тела описывается системой шести уравнений.\begin{align*}
& m \vec{a}_{c}=\vec{F}, \tag{10}\\
& \frac{\mathrm d \vec{L}_{c}}{\mathrm d t}=\vec{M}_{c} ,\tag{11}
\end{align*}где

$\vec{a}_{c}$ – ускорение центра масс,
$\vec{F}$ – сумма внешних сил,
$\vec{L}_{c}$ и $\vec{M}_{c}$ – момент импульса и момент внешних сил относительно центра масс тела.

Уравнение $(11)$ следует из уравнения
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d \vec{L}}{\mathrm d t}=\vec{M}, \tag{12}
\end{equation*}где

$\vec{L}$ – момент импульса тела,
$\vec{M}$ – сумма моментов внешних сил в исходной инерциальной системе отсчета.

В случае плоскопараллельного движения осесимметричного тела вокруг фиксированной оси получим из $(12)$ уравнение\begin{equation*}
J_{z} \frac{\mathrm d \omega}{\mathrm d t}=M_{z} .\tag{13}
\end{equation*}

Задачи. Основы динамики абсолютно твёрдого тела

1 Найдите скорость изменения момента импульса относительно начала координат ${\mathrm d \vec{L}}/{\mathrm d t}$ материальной точки, движущейся под действием силы $\vec{F}$ в инерциальной системе отсчета.

2 Найдите скорость изменения момента импульса относительно начала координат ${\mathrm d \vec{L}}/{\mathrm d t}$ системы материальных точек, взаимодействующих между собой ($\vec{F}_{\mathrm{int}\,{i j}}$) и с внешними полями/силами/системами ($\vec{F}_\mathrm{e x t}$) в инерциальной системе отсчета.

3.1 Найдите скорость изменения момента импульса относительно начала координат ${\mathrm d \vec{L}}/{\mathrm d t}$ системы материальных точек, взаимодействующих между собой ($\vec{F}_{\mathrm{int}\,{i j}}$) и с внешними полями/силами/системами ($\vec{F}_\mathrm{e x t}$) в неинерциальной системе отсчета.

3.2 Сформулируйте условия, при которых выражения, полученные вами в задаче 2, совпадают с результатом этой задачи.

3.3 Сформулируйте закон сохранения момента импульса произвольной механической системы и условия его применимости при описании движения системы.

4 По аналогии с импульсом силы сформулируйте понятия импульса момента силы $\vec{\mathcal{J}_{\theta}}$. Определите направление импульса момента силы в случае постоянного момента силы $\vec{M}$, приложенного к механической системе. Сформулируйте закон изменения момента импульса $\vec{L}$ механической системы.

Моменты инерции

В вершинах квадрата со стороной $ 2a $ расположены массы $ m $ и $ M $ (рис. 1).

Найдите компоненты тензора инерции относительно:

осей $ x, y, z $;
осей $ x', y' $, совпадающих с диагоналями квадрата, и $ z $.

Рис.1

A2 Найдите главные оси инерции и главные моменты инерции следующих систем: массы $ m $ и $ M $ расположены в вершинах прямоугольника со сторонами $ 2a $ и $ 2b $ (рис. 1, $ б $); массы $ m $ и $ 2m $ расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами $ 2a $ и $ 4a $ (рис. 1, $ в $).

Найдите момент инерции:

Кольца массы $m$ и радиуса $R$ (ось проходит через центр кольца, перпендикулярно плоскости кольца)
Кольца массы $m$ и радиуса $R$ (ось проходит через диаметр кольца)
Диска массы $m$ и радиуса $R$ (ось проходит через центр диска, перпендикулярно плоскости диска)
Диска массы $m$ и радиуса $R$ (ось проходит через диаметр)
Тонкого однородного стержня массы $m$ и длины $l$ (ось проходит через центр стержня, перпендикулярно ему)
Тонкого однородного стержня массы $m$ и длины $l$ (ось проходит через конец стержня, перпендикулярно ему)
Тонкой сферической оболочки массы $m$ и радиуса $R$ (любая ось, проходящая через центр)
Однородного шара массы $m$ и радиуса $R$ (любая ось, проходящая через центр)
Однородной тонкой треугольной равнобедренной пластины массы $m$ и длины $L$ с бесконечно малым углом при вершине (ось проходит через вершину, перпендикулярно плоскости пластины)
Однородной тонкой треугольной равнобедренной пластины массы $m$ с длиной боковой стороны $L$ и углом при вершине $2 \beta$ (ось проходит через вершину, перпендикулярно плоскости пластины)
Однородной правильной тонкой правильной $n$-угольной пластины массы $m$ и «радиуса» $R$ (ось проходит через центр, перпендикулярно плоскости пластины)
Однородной тонкой прямоугольной пластины со сторонами $a$ и $b$ (ось проходит через центр, перпендикулярно плоскости пластины)
Однородного сплошного конуса массы $m$ с радиусом основания $R$ (ось совпадает с осью симметрии конуса)

A3 Выразите момент инерции $ I_n $ относительно оси, параллельной единичному вектору $ \vec{e}_n $ и проходящей через центр инерции тела, через компоненты тензора инерции.

A4 Найдите главные моменты инерции шара радиуса $ R $, имеющего внутри полость в форме шара радиуса $ r $ (рис. 2).

Рис. 2

A5 Определите момент инерции однородного эллипсоида $\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\right)$ относительно оси, проходящей через точки $(\frac{a}{3}, 0, 0)$ и $(x_0, y_0, z_0)$. Масса эллипсоида $m$.

Динамика плоского вращательного движения

Склеенный обруч

Однородный обруч массой $ M $ и радиусом $ R $ катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. К обручу прикреплён небольшой грузик массой $ m $. Когда грузик находился в нижней точке, скорость центра обруча была $ v_0 $.

B1 Найдите относительное отличие средней скорости $ v $ центра обруча от $ v_0 $, то есть величину $ \varepsilon = \frac{v - v_0}{v_0} $, полагая $ m \ll M $ и $ mgR \ll Mv_0^2 $.

На горизонтальной шероховатой поверхности находится обруч радиуса $ R $, склеенный из двух однородных половинок массами $ m_1 $ и $ m_2 $.

B2 При какой минимальной скорости $ v_0 $ центра $ O $ обруч совершит полный оборот без проскальзывания?

B3 Определите период малых колебаний обруча вблизи положения равновесия.

B4 Найдите максимально возможный угол $ \alpha_{\text{max}} $ наклона опорной плоскости к горизонту, при котором обруч, находящийся на ней, остаётся в равновесии.

Доберется или нет?

На гладкой горизонтальной поверхности лежит жёсткий спиральный лабиринт с гладкими стенками. Момент инерции лабиринта относительно центра равен $I$, а его масса – $M$. По поверхности движется точечный груз массой $m$. Груз попадает в лабиринт. Потерь энергии в системе нет.

C1 При каких значениях $a$ груз не сможет добраться до центра лабиринта?

Падающая гантель

Два одинаковых маленьких шарика, соединённых невесомым твёрдым стержнем длиной $ L $, падают на гладкую абсолютно упругую горизонтальную плоскость. Непосредственно перед ударом нижнего шарика о плоскость скорости шариков направлены вертикально вниз и равны $ v_0 $, а сразу после удара скорости шариков оказались взаимно перпендикулярны.

D1 Каковы величина скорости центра масс гантели $ v_{c} $ и угловая скорость вращения стержня $ \omega $ сразу после удара?

D2 Под каким углом $ \varphi $ к вертикали был наклонён стержень перед ударом?

Призма

Однородная призма с основанием в форме правильного треугольника со стороной $ a $ помещена в зазор между двумя одинаковыми гладкими столами, расстояние между краями которых равняется $ l $ так, что одна из боковых граней призмы горизонтальна. Ускорение свободного падения равняется $ g $.

E1 При каких значениях $ \frac{l}{a} $ равновесие призмы является устойчивым?

E2 Считая условие пункта A1 выполненным, найдите период малых колебаний призмы вблизи положения равновесия.

Колебания обручей

Два одинаковых тонких обруча массы $ m $ и радиуса $ r $ жёстко скреплены в одной точке так, что их плоскости образуют угол $ \alpha $.

F1 Найдите период малых колебаний данной конструкции при движении по горизонтальной поверхности без проскальзывания.

Три шара

Три маленьких одинаковых шара (обозначим их A, B, C) массы $ m $ каждый соединены с двумя невесомыми стержнями длиной $ l $ так, что один из стержней соединяет шары A и B, а другой стержень соединяет шары B и C. Соединения с шаром B - шарнирные, а угол между стержнями может изменяться без приложения усилий. Система покоится в невесомости так, что все шары находятся на одной линии. Шару A мгновенно сообщают скорость, перпендикулярную стержням.

G1 Найдите минимальное расстояние $ d $ между шарами A и C при последующем движении системы. Любым трением пренебречь.

Механический ускоритель

Невесомая нить делает $N$ витков вокруг неподвижно закреплённого цилиндра, как показано на рисунке. Вначале свободные (ненамотанные) концы нити параллельны оси $X$.
Затем тяжёлое точечное тело $P$ прикрепили к одному концу нити, в то время, как другой конец нити тянут с постоянной скоростью $u$ вдоль оси $X$.
Нить считайте нерастяжимой и гибкой. Считайте, что витки нити намотаны плотно один к другому и расположены практически в одной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Трением в системе пренебречь. Не учитывайте силу тяжести.

H1 Определите максимальную скорость груза $v$, возникающую в процессе движения.

Домино

Высота и ширина каждой ступеньки бесконечной лестницы равны $ d $.
Угол каждой ступеньки слегка закруглён. В середине каждой ступеньки изначально находится направленное вверх домино длиной $ \sqrt{5}d $ и пренебрежимо малой толщины. Позади основания каждого домино находится небольшой рубчик, который не даёт ему скользить назад. Первому домино придают некоторую начальную угловую скорость, и домино начинают падать друг на друга. Все соударения абсолютно неупругие, и между двумя домино нет трения. Через некоторое время все домино приобретают одинаковую угловую скорость $ \omega $.

I1 Найдите $ \omega $.

Рассмотрим теорию, описывающую падение костяшек. Введем обозначения:

$\Omega_{b}$ – угловая скорость костяшки непосредственно перед ударом о следующую, которая покоится (before);
$\Omega_0$ – угловая скорость костяшки сразу после удара с предыдущей;
$\Omega_{a}$ – угловая скорость сразу после удара со следующей (after);
$m$ – масса одной костяшки;
$\alpha = d/h = 0.135\pm0.005$;
$\beta$ – отклонение линии $A_nC_n$ от вертикали, когда костяшка домино покоится, причём $C_n$ – её центр масс;
$\varphi$ – отклонение линии $A_nC_n$ от вертикали, когда костяшка ударяется о следующую.

Обратим внимание, что скорость распространения волны падающих домино довольно быстро устанавливается, то есть зависимость $t_n$ от $n$ становится линейной.

На процесс распространения волны возбуждения в ряде домино влияет большое количество факторов, которые трудно учесть вместе. В их число входят, например, проскальзывание по поверхности и трение между костяшками.

В этой задаче будем рассматривать простейшую модель распространения волны домино, которая включает в себя следующие допущения:

проскальзывание по поверхности отсутствует;
трение между костяшками отсутствует;
костяшки домино являются однородными;
удар костяшек абсолютно неупругий, значит костяшки после удара не отрываются, а только скользят друг по другу;
в момент удара изменение кинетической энергии костяшек не участвующих в ударе (на рисунке выше это все, кроме $n$ и $n+1$) пренебрежимо мало. То есть кинетическая энергия всей системы домино сразу до удара: $K_{до} = \frac{I\Omega_b^2}{2}$, кинетическая энергия всей системы домино сразу после удара: $K_{после}=\frac{I(\Omega_a^2+\Omega_0^2)}{2}$, где $I$ – момент инерции костяшки относительно оси вращения;
в ходе удара угловая скорость падающей костяшки падает в $k$ раз: $\Omega_a =\Omega_b/k$.

I2 Выразите углы $\beta$ и $\varphi$ через геометрические параметры $s$, $h$, $\alpha$.

I3 Выразите $\Omega_0$ через $g,h,k, \alpha, s$ в установившейся волне падающих домино. Учтите, что в момент удара мгновенные силы реакции возникают во всех точках контакта костяшек друг с другом и с поверхностью.

На Эверест

Пирамида $ ABCD $ находится на гладкой горизонтальной поверхности. Её основание $ ABCD $ имеет форму правильного треугольника, а рёбра $ AD, BD, CD $ образуют с основанием углы $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
Массой пирамиды можно пренебречь. В точках $ A $ и $ B $ находятся два человека, которых можно считать материальными точками $ M_1 $ и $ M_2 $ соответственно. Их массы равны, и изначально система покоилась.

В некоторый момент $ M_1 $ и $ M_2 $ одновременно начинают подниматься к вершине $ D $ пирамиды вдоль рёбер $ AD $ и $ BD $ соответственно.
Найдите скорость вершины $ D $ пирамиды в момент начала движения в случаях:

J1 Проекции скоростей $ v_{1z} $ и $ v_{2z} $ на вертикальную ось одинаковы и равны $ v $.

J2 Проекции скоростей на вертикальную ось равны $ v $ и $ 2v $ соответственно.

Раскрученные стержни

Материальные точки $ A, B, C, D $ соединены шарнирными невесомыми стержнями $ AB, BC, CD, AD $ равной длины. Массы точек $ m_A = m_C = m_1 $, $ m_B = m_D = m_2 $. Система находится на гладкой горизонтальной поверхности. Удерживая стержень $ AB $ в состоянии покоя при $ \varphi = \frac{\pi}{4} $, стержням $ BC $ и $ AD $ придали угловые скорости $ \omega $. Сразу после этого систему свободно отпустили.

K1 Найдите угловые ускорения $ \varepsilon_{AB} $ и $ \varepsilon_{BC} $ стержней $ AB $ и $ BC $ сразу после отпускания.

Два цилиндра

Однородный цилиндр массы $ m $ и радиуса $ r $ находится на внутренней поверхности полого цилиндра массы $ M $ и радиуса $ R $. В начальный момент времени полый цилиндр покоится на горизонтальной поверхности стола, а центр однородного цилиндра находится на высоте $ R $ над поверхностью стола.

L1 Найдите вертикальную составляющую силы $ F $ взаимодействия между цилиндрами в тот момент, когда центр однородного цилиндра находится в нижней точке своей траектории. Все движения в системе происходят без проскальзывания. Ускорение свободного падения равно $ g $.

Вертикальный поворот

Кольцо радиуса $ R $ и массы $ M $ без трения может вращаться вокруг своего центра. На кольце расположена точка $ B $, на которой закреплена невесомая горизонтальная педаль. Человек массы $ m $ опирается на педаль, причём в процессе движения человек всегда принимает вертикальное положение. Центр масс человека расположен на высоте $ L $ над точкой $ B $.

M1 Найдите угловую скорость кольца в момент, когда центр масс человека находится в нижней точке траектории.

Разматывающаяся лента

Однородный цилиндр радиуса $ R $ прикреплён в точке $ A $ к концу гибкой однородной плотной ленты. Лента лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Толщина и длина ленты $ h $ и $ l $ соответственно удовлетворяют соотношению $ h \ll R $, а также $ h = 3\pi R^2 $. Массы катушки и ленты одинаковы. В начальный момент центр цилиндра $ O $ получает скорость $ v_0 $. При этом лента остаётся в покое.
Примечание: Лента наматывается слой поверх слоя.

N1 При каком минимальном значении $ v_{0} $ через некоторое время вся лента намотается на катушку?

N2 Найдите вертикальную компоненту скорости центра масс $ v_{yC} $ всей системы в момент, когда часть ленты длиной $ x $ оказывается намотана на катушку.

Ковер

Прямоугольный ковёр малой толщины $ d $, массы $ m $ и длины $ L $ плотно намотали по его длине, положили на горизонтальную шероховатую поверхность (начальная нижняя точка остаётся неподвижной) и отпустили без начальной скорости. Ускорение свободного падения $ g $.

O1 Найдите время $ T_0 $ разматывания ковра, представляя в каждый момент времени неразмотанную часть ковра как катящийся однородный цилиндр.

O2 Постройте качественный график скорости центра неразмотанной части ковра от времени $ v(t) $ в этом предположении, отмечая характерные точки, если такие имеются. К чему стремится скорость в конце разматывания? Может ли такое быть?

O3 Объясните, в чём заключается недостаток модели из пунктов 1 и 2. Оцените величину $ v_1 $, к которой на самом деле стремится скорость в конце разматывания.

Настоящее время разматывания ковра, пренебрегая членами порядка $ T_0 \left( \frac{d}{L} \right)^{\alpha+1} $, можно представить в виде
\[
T_1 = T_0 \left( 1 + k \left( \frac{d}{L} \right)^{\alpha} \right).
\]

O4 Найдите $ \alpha $.

O5 Пусть $ \sqrt{d} \ll \sqrt{L} $. Численно найдите $ k $ до третьей значащей цифры. В этом пункте можно (и нужно) воспользоваться Вольфрамом.

Блохи на соломинке

Прямая однородная тонкая соломинка покоится на гладкой доске. На каждом ее конце сидит по блохе.

P1 Покажите, что если масса $M$ соломинки не слишком большая по сравнению с массой $m$ каждой из блох, то они могут одновременными прыжками с одинаковыми скоростью и углом взлета перепрыгнуть с одного конца соломинки на другой без столкновения друг с другом в воздухе.

Динамика пространственного вращательного движения

Шайба на сфере

По гладкой внутренней поверхности закреплённой сферы радиуса $ R $ движется маленькая шайба. В момент старта шайба находится в горизонтальной плоскости, содержащей центр сферы, начальная скорость шайбы горизонтальна и равна $ \omega R $. Считая, что $ \omega^2 R \gg g $.

Q1 Опишите движение шайбы по вертикали как функцию времени.

Q2 Найдите время, начиная с момента старта, через которое достигается максимальное смещение шайбы по вертикали.

Волчок на шершавой поверхности

Волчок с неподвижной точкой опоры $ O $, вращавшийся с угловой скоростью $ \Omega $ вокруг своей оси, касается горизонтальной плоскости краем диска.

R1 Найдите угловую скорость волчка, когда проскальзывание диска прекратится.

R2 В установившемся режиме найдите силу давления волчка на плоскость.

Шар на вращающемся диске

Диск вращается с угловой скоростью $ \vec{\Omega} $ вокруг оси, проходящей через центр и составляющей угол $ \theta $ с вертикалью. На поверхность диска кладут однородный шар так, что он касается диска в его центре. Шар отпускают без начальной скорости, и он начинает двигаться по поверхности диска без проскальзывания. Направим ось $ y $ вниз по наклонной плоскости, а ось $ x $ - вправо.

S1 Получите зависимости координат центра шара $ (x(t), y(t)) $ от времени. Ответы выразите через $g$, $t$, $\Omega$ и $ \theta $.

Замедление времени

T1 Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются (за счет действия приливных сил) с месяцем (т. е. период обращения Земли вокруг оси станет равным периоду обращения Луны вокруг Земли). Примите для простоты, что ось вращения Земли перпендикулярна плоскости орбит Земли и Луны. Для численных оценок считайте Землю однородным шаром радиусом $ a = 6{,}4 \text{ тыс. км} $ и массой $ M $, в $81$ раз большей массы Луны $ m $; расстояние от Земли до Луны $ R = 380 \text{ тыс. км} $.

Стыковка

Два одинаковых однородных шара, вращающихся с одинаковыми по величине угловыми скоростями $\omega$, медленно сблизившись, жестко состыковываются друг с другом.

Определите закон движения образовавшегося тела. Найдите, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло. До состыковки угловые скорости шаров были направлены:

перпендикулярно линии центров и параллельно друг другу;
одна — вдоль линии центров, другая — перпендикулярно.

Упругое столкновение

Однородный шар радиуса $r$ и массы $m$ катится, не проскальзывая, по горизонтальной плоскости со скоростью $v$. В момент, когда он касается другого такого же шара, лежавшего неподвижно, шары жестко скрепляются (рис. 3). Плоскость абсолютно гладкая (после скрепления шары свободно скользят по ней).

Рис. 3

V1 С какими силами действуют на плоскость шары? Ускорение свободного падения достаточно велико, так что шары все время касаются плоскости.

Прилипание к эллипсоиду

Рис.4

W1 На однородный эллипсоид вращения (полуоси $ a = b $, $ c $) налетает частица, движущаяся параллельно оси $ Oy $ со скоростью $ v $ и прицельными параметрами $ p_1 $, $ p_2 $ (рис. 4), и прилипает к нему. Опишите движение эллипсоида, предполагая, что его масса много больше массы налетающей частицы.

Гирокомпас

Рис.5

Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся диск, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости (рис. 5).

X1 Исследуйте движение гирокомпаса на широте $ \alpha $. Угловая скорость вращения Земли $ \Omega $.

Исследование волчков

Y1 Составьте уравнения движения для проекций момента на подвижные оси координат, выбранные по осям инерции. Проинтегрируйте по времени эти уравнения для свободного движения симметрического волчка с собственными моментами инерции $I_1=I_2$, $I_3$. Начальные угловые скорости вращения волчка относительно главных осей равны $\omega_1$, $\omega_2$ и $\omega_3$ соответственно.

Теперь моменты инерции свободно вращающегося волчка равны $I_1>I_2>I_3$.

Y2 Используя уравнения, полученные в предыдущем пункте, исследуйте устойчивость вращения ассиметрического волчка относительно главных осей инерции.

Подсказка: удобнее искать зависимость угловой скорости от времени в виде $\omega=\omega_0 e^{\alpha t}$

Равновесное застывание

Рис.6

Сосуд, частично заполненный постепенно затвердевающей эпоксидной смолой (рис.6), приводят во вращение с угловой скоростью $ \omega_2 $ вокруг оси $ AB $, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси $ CD $ с угловой скоростью $ \omega_1 $.

Z1 Какую форму примет, затвердев, поверхность смолы?

(Не)устойчивое равновесие

Гладкий параболоид $2z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}$ вращается вокруг вертикальной оси $z$ с угловой скоростью $\omega$.

AA1 При каких значениях $\omega$ нижнее положение неустойчиво для частицы, находящейся внутри параболоида? Ускорение свободного падения равно $g$.

Шар в конусе

Однородный шар движется внутри конуса с углом раствора $ \theta $ без проскальзывания таким образом, что точка касания шара движется по окружности радиуса $ l \gg R $, а геометрическое место точек касания на шаре — окружность радиуса $ r < R $.

AB1 Чему равна угловая скорость прецессии шара?

Динамика стержня

На концах однородного стержня длины $ L = 0{,}8 ~ \text{м} $ закреплены два маленьких лёгких ролика, которые могут свободно вращаться только вокруг оси, направленной вдоль стержня. Система располагается на горизонтальной поверхности, коэффициент трения скольжения между роликами и поверхностью равен $ \mu $, трение качения отсутствует.
Концам стержня сообщают скорости $ v_1 = 1 ~\frac{\text{м}}{\text{с}} $ и $ v_2 = 2{,}5 ~\frac{\text{м}}{\text{с}} $, направленные в одну сторону перпендикулярно стержню.

AC1 При каких значениях $ \mu $ ролики не будут проскальзывать по поверхности?

Здесь и далее считайте, что $ \mu = 0{,}1 $.

AC2 Получите зависимость угловой скорости вращения стержня от времени $ \omega(t) $.

AC3 Найдите минимальное значение скорости $ v_{\text{min}} $ центра стержня в процессе движения.

AC4 Укажите направление минимальной скорости в момент её достижения.

AC5 Через какое время от начала движения $ T $ минимальная скорость достигается?

Стержень помещают на наклонную плоскость, составляющую угол $ \theta $ с горизонтом. Начальная скорость центра стержня равна нулю, а его угловая скорость -- $ \omega_0 $. В процессе движения стержень по наклонной плоскости не проскальзывает.

AD1 Опишите траекторию центра стержня.

AD2 При каком минимальном значении коэффициента трения роликов о поверхность $ \mu_{\text{min}} $ такое движение возможно?

Прецессия в цилиндре

Шар, катящийся по вертикальной цилиндрической стенке, иногда демонстрирует необычное поведение. Игроки в гольф бывают удивлены поведением мяча, который только что вошел в лунку. Рассмотрим следующую модель явления:

мяч для гольфа — это сплошной шар массой $ m $ и радиусом $ r $;
лунка представляет собой вертикальный цилиндр радиусом $ R $ и глубиной $ h $;
мяч всегда движется без проскальзывания (и до входа в лунку, и по стенке лунки);
пока мяч движется в лунке, он всегда касается стенки;
мяч влетает в лунку по касательной к стенке, а скорость его центра масс в этот момент горизонтальна и равна $ w_0 $;
ускорение свободного падения $ g $ считается известным.

На рисунке изображен мяч на стенке лунки в некоторый момент времени. Азимутальная координата мяча задается углом $ \phi $, угловая скорость вращения мяча вокруг оси лунки — $ \Omega $. $ \hat{r} $, $ \hat{\varphi} $, $ \hat{z} $ — орты цилиндрической системы координат (радиальное, азимутальное и вертикальное направление соответственно).

Примечание. Вам может пригодиться дифференцирование орт цилиндрической системы координат:

\[
\frac{d\hat{r}}{dt} = \Omega \hat{\varphi}, \quad
\frac{d\hat{\varphi}}{dt} = -\Omega \hat{r}, \quad
\frac{d\hat{z}}{dt} = 0.
\]

AE1 Найдите $ z $-компоненту угловой скорости мяча $ \omega_z $, когда мяч движется по стенке лунки. Также найдите азимутальную компоненту силы трения $ F_\varphi $ между мячом и стенкой.

AE2 Найдите угловую скорость вращения мяча $ \Omega $ вокруг оси лунки.

AE3 Найдите силу нормальной реакции опоры $ N $, с которой стенка лунки действует на мяч во время его движения.

AE4 Найдите зависимость вертикальной координаты мяча от времени $ z(t) $. Нулевым моментом времени считайте момент, когда мяч влетел в лунку.

AE5 Какое значение может принимать коэффициент трения $ \mu $ между мячом и стенкой, чтобы мяч никогда не проскальзывал во время рассматриваемого движения.

Тормозящий момент

На симметричное тело с неподвижным центром масс, имеющее главные моменты инерции $ I_x = I_y > I_z $, вектор угловой скорости которого в начальный момент равен $ \vec{\omega} = (\omega_x, \omega_y, \omega_z) $ действует момент сил, равный $ M = -\alpha \vec{\omega} $.

AF1 Покажите, что вектор угловой скорости тела асимптотически стремится стать ортогональным оси симметрии системы.

AF2 Найдите зависимость $ \vec{\omega}(t) $.

Качающееся колесо

Тонкое однородное жёсткое колесо с радиусом $R$ и массой $M$ катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости $xy$, образуя с вертикалью угол $\theta(t)$. Как показано на рисунке, плоскость колеса пересекается с $xy$ по прямой, образующей угол $\varphi(t)$ с осью $x$. Координаты точки соприкосновения колеса с поверхностью обозначим как $(x(t),y(t),0)$. Ускорение свободного падения равно $g$.

Функции $x(t)$, $y(t)$, $\theta(t)$ и $\varphi(t)$, с помощью которых мы будем описывать движение колеса, не являются в полной мере независимыми.

AG1 Найдите кинематическую связь между этими функциями. В ответ могут войти как сами функции, так и их производные по времени.

Рассмотрим частный случай равномерного кругового движения колеса, т.е. когда точка его соприкосновения с поверхностью перемещается с постоянной скоростью, описывая окружность радиуса $r$ вокруг вертикальной оси $z$. При этом $\theta(t)=\theta=\operatorname{const}$, а $\varphi(t)$ – линейная функция времени. В лабораторной системе отсчёта $\Sigma$ можно, не умаляя общности, положить:\[\left(\begin{array}cx(t)\\y(t)\end{array}\right)=r\left(\begin{array}c-\sin\omega t\\\cos\omega t\end{array}\right),\]где $\omega$ – угловая скорость, которую ещё предстоит найти. В системе отсчёта $\Sigma'$, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $z$, углы $\theta$ и $\varphi$ постоянны, а колесо вращается вокруг сохраняющей ориентацию оси симметрии. В этой системе отсчёта на каждый участок колеса буду также действовать центробежная сила и сила Кориолиса.

AG2 Найдите действующие на колесо центробежную силу $\vec F_ц$ и силу Кориолиса $\vec F_К$, а также результирующие моменты этих сил $\vec\tau_ц$ и $\vec\tau_К$ соответственно.

AG3 Найдите угловую скорость $\omega$ и силу трения $\vec f$, действующую на колесо со стороны поверхности ($\omega$ не должна входить в ответ).

Если же колесо катится с достаточно большой скоростью, вертикальное положение $\theta=0$ может оказаться устойчивым. В этом случае можно считать, что центр масс колеса движется с почти постоянной скоростью $V$ в положительном направлении оси $x$. Тогда в первом приближении можно записать $x(t)=Vt+\delta x(t)$, где $\delta x(t)$ – малая величина, меняющаяся по гармоническому закону с некоторой угловой скоростью $\Omega$ (как и $y(t)$, $\theta(t)$ и $\varphi(t)$).

AG4 Выведите в первом нетривиальном приближении уравнения движения колеса. Найдите отсюда угловую скорость $\Omega$ и минимальное значение $V_\mathrm{min}$ скорости колеса, при которой вертикальное положение будет устойчивым.