Pho.rs: Движение твердого тела

1 ^?? Найдите величину скорости $v_{B}$ точки $B$. Найдите угловую скорость $\omega$ вращения стержня, если его длина равна $l$.

2 ^?? Найдите модуль скорости $\vec{v}_{C}$.

3.1 ^?? В некоторый момент времени скорости двух точек листа $a$ и $b$ перпендикулярны плоскости листа, $\vec{v}_{a}=\vec{v}_{b}=\vec{v}$. Скорость точки $c$ на расстоянии $l$ от отрезка $a b$ равна $\vec{v}_{c}=2 \vec{v}$. Найдите геометрическое место множества точек $k$ листа, имеющих скорость $\vec{v}_{k}=3 \vec{v}$.

3.2 ^?? В некоторый момент времени скорости двух точек листа $a$ и $b$ лежат в плоскости листа, $\vec{v}_{a}=$ $\vec{v}_{b}=\vec{v}$. Величина скорости точки $c$ на расстоянии $l$ от середины отрезка $a b$ равна $2 v$. Найдите геометрическое место множества точек $k$ листа, имеющих скорость $v_{k}=3 v$.

4 ^?? Чему будут равны максимальная скорость и ускорение точки $C$? В начальный момент стержни вытянуты вдоль направляющей $B C$. Движение стержней происходит в плоскости рисунка.

5 ^?? Найдите ускорение точки $A$ как функцию угла $\varphi$.

6 ^?? Найдите ускорение бусинки $A$ в тот момент, когда бусинка $B$ будет на расстоянии $L$ от точки $O$.

7 ^?? Определите вертикальную проекцию ускорения $a_{\mathrm{C}}$ этой точки.

1 ^?? Найдите скорость изменения момента импульса относительно начала координат ${\mathrm d \vec{L}}/{\mathrm d t}$ материальной точки, движущейся под действием силы $\vec{F}$ в инерциальной системе отсчета.

2 ^?? Найдите скорость изменения момента импульса относительно начала координат ${\mathrm d \vec{L}}/{\mathrm d t}$ системы материальных точек, взаимодействующих между собой ($\vec{F}_{\mathrm{int}\,{i j}}$) и с внешними полями/силами/системами ($\vec{F}_\mathrm{e x t}$) в инерциальной системе отсчета.

3.1 ^?? Найдите скорость изменения момента импульса относительно начала координат ${\mathrm d \vec{L}}/{\mathrm d t}$ системы материальных точек, взаимодействующих между собой ($\vec{F}_{\mathrm{int}\,{i j}}$) и с внешними полями/силами/системами ($\vec{F}_\mathrm{e x t}$) в неинерциальной системе отсчета.

3.2 ^?? Сформулируйте условия, при которых выражения, полученные вами в задаче 2, совпадают с результатом этой задачи.

3.3 ^?? Сформулируйте закон сохранения момента импульса произвольной механической системы и условия его применимости при описании движения системы.

4 ^?? По аналогии с импульсом силы сформулируйте понятия импульса момента силы $\vec{\mathcal{J}_{\theta}}$. Определите направление импульса момента силы в случае постоянного момента силы $\vec{M}$, приложенного к механической системе. Сформулируйте закон изменения момента импульса $\vec{L}$ механической системы.

A1 ^??

Найдите компоненты тензора инерции относительно:

осей $ x, y, z $;
осей $ x', y' $, совпадающих с диагоналями квадрата, и $ z $.

A2 ^?? Найдите главные оси инерции и главные моменты инерции следующих систем: массы $ m $ и $ M $ расположены в вершинах прямоугольника со сторонами $ 2a $ и $ 2b $ (рис. 1, $ б $); массы $ m $ и $ 2m $ расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами $ 2a $ и $ 4a $ (рис. 1, $ в $).

A3 ^?? Выразите момент инерции $ I_n $ относительно оси, параллельной единичному вектору $ \vec{e}_n $ и проходящей через центр инерции тела, через компоненты тензора инерции.

A4 ^?? Найдите главные моменты инерции шара радиуса $ R $, имеющего внутри полость в форме шара радиуса $ r $ (рис. 2).

A5 ^?? Определите момент инерции однородного эллипсоида $\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\right)$ относительно оси, проходящей через точки $(\frac{a}{3}, 0, 0)$ и $(x_0, y_0, z_0)$. Масса эллипсоида $m$.

B1 ^?? Найдите относительное отличие средней скорости $ v $ центра обруча от $ v_0 $, то есть величину $ \varepsilon = \frac{v - v_0}{v_0} $, полагая $ m \ll M $ и $ mgR \ll Mv_0^2 $.

B2 ^?? При какой минимальной скорости $ v_0 $ центра $ O $ обруч совершит полный оборот без проскальзывания?

B3 ^?? Определите период малых колебаний обруча вблизи положения равновесия.

B4 ^?? Найдите максимально возможный угол $ \alpha_{\text{max}} $ наклона опорной плоскости к горизонту, при котором обруч, находящийся на ней, остаётся в равновесии.

C1 ^?? При каких значениях $a$ груз не сможет добраться до центра лабиринта?

D1 ^?? Каковы величина скорости центра масс гантели $ v_{c} $ и угловая скорость вращения стержня $ \omega $ сразу после удара?

D2 ^?? Под каким углом $ \varphi $ к вертикали был наклонён стержень перед ударом?

E1 ^?? При каких значениях $ \frac{l}{a} $ равновесие призмы является устойчивым?

E2 ^?? Считая условие пункта A1 выполненным, найдите период малых колебаний призмы вблизи положения равновесия.

F1 ^?? Найдите период малых колебаний данной конструкции при движении по горизонтальной поверхности без проскальзывания.

G1 ^?? Найдите минимальное расстояние $ d $ между шарами A и C при последующем движении системы. Любым трением пренебречь.

H1 ^?? Определите максимальную скорость груза $v$, возникающую в процессе движения.

I1 ^?? Найдите $ \omega $.

I2 ^?? Выразите углы $\beta$ и $\varphi$ через геометрические параметры $s$, $h$, $\alpha$.

I3 ^?? Выразите $\Omega_0$ через $g,h,k, \alpha, s$ в установившейся волне падающих домино. Учтите, что в момент удара мгновенные силы реакции возникают во всех точках контакта костяшек друг с другом и с поверхностью.

J1 ^?? Проекции скоростей $ v_{1z} $ и $ v_{2z} $ на вертикальную ось одинаковы и равны $ v $.

J2 ^?? Проекции скоростей на вертикальную ось равны $ v $ и $ 2v $ соответственно.

K1 ^?? Найдите угловые ускорения $ \varepsilon_{AB} $ и $ \varepsilon_{BC} $ стержней $ AB $ и $ BC $ сразу после отпускания.

L1 ^?? Найдите вертикальную составляющую силы $ F $ взаимодействия между цилиндрами в тот момент, когда центр однородного цилиндра находится в нижней точке своей траектории. Все движения в системе происходят без проскальзывания. Ускорение свободного падения равно $ g $.

M1 ^?? Найдите угловую скорость кольца в момент, когда центр масс человека находится в нижней точке траектории.

N1 ^?? При каком минимальном значении $ v_{0} $ через некоторое время вся лента намотается на катушку?

N2 ^?? Найдите вертикальную компоненту скорости центра масс $ v_{yC} $ всей системы в момент, когда часть ленты длиной $ x $ оказывается намотана на катушку.

O1 ^?? Найдите время $ T_0 $ разматывания ковра, представляя в каждый момент времени неразмотанную часть ковра как катящийся однородный цилиндр.

O2 ^?? Постройте качественный график скорости центра неразмотанной части ковра от времени $ v(t) $ в этом предположении, отмечая характерные точки, если такие имеются. К чему стремится скорость в конце разматывания? Может ли такое быть?

O3 ^?? Объясните, в чём заключается недостаток модели из пунктов 1 и 2. Оцените величину $ v_1 $, к которой на самом деле стремится скорость в конце разматывания.

O4 ^?? Найдите $ \alpha $.

O5 ^?? Пусть $ \sqrt{d} \ll \sqrt{L} $. Численно найдите $ k $ до третьей значащей цифры. В этом пункте можно (и нужно) воспользоваться Вольфрамом.

P1 ^?? Покажите, что если масса $M$ соломинки не слишком большая по сравнению с массой $m$ каждой из блох, то они могут одновременными прыжками с одинаковыми скоростью и углом взлета перепрыгнуть с одного конца соломинки на другой без столкновения друг с другом в воздухе.

Q1 ^?? Опишите движение шайбы по вертикали как функцию времени.

Q2 ^?? Найдите время, начиная с момента старта, через которое достигается максимальное смещение шайбы по вертикали.

R1 ^?? Найдите угловую скорость волчка, когда проскальзывание диска прекратится.

R2 ^?? В установившемся режиме найдите силу давления волчка на плоскость.

S1 ^?? Получите зависимости координат центра шара $ (x(t), y(t)) $ от времени. Ответы выразите через $g$, $t$, $\Omega$ и $ \theta $.

T1 ^?? Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются (за счет действия приливных сил) с месяцем (т. е. период обращения Земли вокруг оси станет равным периоду обращения Луны вокруг Земли). Примите для простоты, что ось вращения Земли перпендикулярна плоскости орбит Земли и Луны. Для численных оценок считайте Землю однородным шаром радиусом $ a = 6{,}4 \text{ тыс. км} $ и массой $ M $, в $81$ раз большей массы Луны $ m $; расстояние от Земли до Луны $ R = 380 \text{ тыс. км} $.

U1 ^??

Определите закон движения образовавшегося тела. Найдите, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло. До состыковки угловые скорости шаров были направлены:

перпендикулярно линии центров и параллельно друг другу;
одна — вдоль линии центров, другая — перпендикулярно.

V1 ^?? С какими силами действуют на плоскость шары? Ускорение свободного падения достаточно велико, так что шары все время касаются плоскости.

W1 ^?? На однородный эллипсоид вращения (полуоси $ a = b $, $ c $) налетает частица, движущаяся параллельно оси $ Oy $ со скоростью $ v $ и прицельными параметрами $ p_1 $, $ p_2 $ (рис. 4), и прилипает к нему. Опишите движение эллипсоида, предполагая, что его масса много больше массы налетающей частицы.

X1 ^?? Исследуйте движение гирокомпаса на широте $ \alpha $. Угловая скорость вращения Земли $ \Omega $.

Y1 ^?? Составьте уравнения движения для проекций момента на подвижные оси координат, выбранные по осям инерции. Проинтегрируйте по времени эти уравнения для свободного движения симметрического волчка с собственными моментами инерции $I_1=I_2$, $I_3$. Начальные угловые скорости вращения волчка относительно главных осей равны $\omega_1$, $\omega_2$ и $\omega_3$ соответственно.

Y2 ^?? Используя уравнения, полученные в предыдущем пункте, исследуйте устойчивость вращения ассиметрического волчка относительно главных осей инерции.

Подсказка: удобнее искать зависимость угловой скорости от времени в виде $\omega=\omega_0 e^{\alpha t}$

Z1 ^?? Какую форму примет, затвердев, поверхность смолы?

AA1 ^?? При каких значениях $\omega$ нижнее положение неустойчиво для частицы, находящейся внутри параболоида? Ускорение свободного падения равно $g$.

AB1 ^?? Чему равна угловая скорость прецессии шара?

AC1 ^?? При каких значениях $ \mu $ ролики не будут проскальзывать по поверхности?

AC2 ^?? Получите зависимость угловой скорости вращения стержня от времени $ \omega(t) $.

AC3 ^?? Найдите минимальное значение скорости $ v_{\text{min}} $ центра стержня в процессе движения.

AC4 ^?? Укажите направление минимальной скорости в момент её достижения.

AC5 ^?? Через какое время от начала движения $ T $ минимальная скорость достигается?

AD1 ^?? Опишите траекторию центра стержня.

AD2 ^?? При каком минимальном значении коэффициента трения роликов о поверхность $ \mu_{\text{min}} $ такое движение возможно?

AE1 ^?? Найдите $ z $-компоненту угловой скорости мяча $ \omega_z $, когда мяч движется по стенке лунки. Также найдите азимутальную компоненту силы трения $ F_\varphi $ между мячом и стенкой.

AE2 ^?? Найдите угловую скорость вращения мяча $ \Omega $ вокруг оси лунки.

AE3 ^?? Найдите силу нормальной реакции опоры $ N $, с которой стенка лунки действует на мяч во время его движения.

AE4 ^?? Найдите зависимость вертикальной координаты мяча от времени $ z(t) $. Нулевым моментом времени считайте момент, когда мяч влетел в лунку.

AE5 ^?? Какое значение может принимать коэффициент трения $ \mu $ между мячом и стенкой, чтобы мяч никогда не проскальзывал во время рассматриваемого движения.

AF1 ^?? Покажите, что вектор угловой скорости тела асимптотически стремится стать ортогональным оси симметрии системы.

AF2 ^?? Найдите зависимость $ \vec{\omega}(t) $.

AG1 ^?? Найдите кинематическую связь между этими функциями. В ответ могут войти как сами функции, так и их производные по времени.

AG2 ^?? Найдите действующие на колесо центробежную силу $\vec F_ц$ и силу Кориолиса $\vec F_К$, а также результирующие моменты этих сил $\vec\tau_ц$ и $\vec\tau_К$ соответственно.

AG3 ^?? Найдите угловую скорость $\omega$ и силу трения $\vec f$, действующую на колесо со стороны поверхности ($\omega$ не должна входить в ответ).

AG4 ^?? Выведите в первом нетривиальном приближении уравнения движения колеса. Найдите отсюда угловую скорость $\Omega$ и минимальное значение $V_\mathrm{min}$ скорости колеса, при которой вертикальное положение будет устойчивым.

Движение твердого тела

Решение