Два маленьких шарика массой $m$ каждый с зарядами $+q$ и $-q$ соответственно, соединенные жестким безмассовым стержнем длиной $d$, образуют диполь. Диполь параллелен плоскости $X Y$ и помещен в однородное магнитное поле $\vec{B}$, перпендикулярное $X Y$.

Первоначально диполь направлен по $X$ и имеет начальную угловую скорость $\omega_{0}$ в плоскости $X Y$, как показано на рисунке. Его центр масс первоначально расположен в начале координат и имеет начальную скорость $\vec{v}_{0}$, параллельную $X Y$.

Рассмотрим три различных сценария (a, b, c-d):

(a) Найдите $\omega_{0}$ и направление $\vec{v}_{0}$, чтобы центр масс двигался с постоянной скоростью $\vec{v}=\vec{v}_{0}$?

A S

(b) Считая $\omega_{0}$ известным, найдите такую $\vec{v}_{0}$ (направление и величину), чтобы центр масс двигался по окружности. Найдите радиус окружности $R_{c}$ и координаты $x_{c}, y_{c}$ ее центра. Доказывать единственность решения не нужно.

A S

(c) Пусть $\vec{v}_{0}=0$. Найдите минимальное значение $\omega_{0}=\omega_{\text {min }}$, необходимое для того, чтобы диполь поменял свою ориентацию во время движения.

A S

(d) Если диполь стартует с $\vec{v}_{0}=0$ и $\omega_{0}=\omega_{\text {min }}$, найденной в части (c), то траектория центра масс имеет асимптоту. Найдите расстояние $D$ от начала координат до асимптоты.

A S

Полезное векторное тождество:

$$ \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b}) $$ где « $\times$ » и «$\cdot$» обозначают векторное произведение и скалярное произведение соответственно.