A1  ^?? Покажите, что лучи, отраженные от кристаллических плоскостей, параллельных $YOZ$ до деформации, являются касательными к одной и той же кривой для данного порядка дифракции $K$. Считайте пластинку бесконечно тонкой.

Кристаллические плоскости, параллельные вначале плоскости $YOZ$, а следовательно, и торцам пластинки, отражают только те рентгеновские лучи, которые образуют с нормалью $CO$ угол $\theta_{k}$, определяемый формулой Брэгга $$2 d \sin \theta_{k}=K \lambda \tag{1}$$ где $K$ – порядок дифракции, $d$ – период решетки кристалла.

Вначале будем считать, что пластинка бесконечно тонка. После того как она сгибается в дугу $SS'$ с центром $C$ (рис. 1), дифракция порядка $K$, происходящая в какой-либо точке $P$, приводит к возникновению луча, отраженного под тем же углом $\theta_{k}$ относительно нормали $CP$ к кристаллической плоскости, проходящей через точку $P$, или, другими словами, относительно радиуса, проведенного из центра $C$. При перемещении точки $P$ по пластинке расстояние $CP=R$ и угол $\theta_{k}$ остаются фиксированными. Проведем из точки $C$ нормаль $CF$ к лучу, отраженному в точке $P$. Тогда можно записать, что $$CF=R \sin \theta_{k}=\operatorname{const} \tag{2}$$

Все лучи, отраженные от разных точек на $SS'$, соответствующие одному и тому же порядку дифракции $K$, будут касательными к окружности радиусом $R \sin \theta_{k}$ и с центром в точке $C$.

B1  ^?? Как изменится предыдущий результат, если пластинка обладает заметной толщиной?

Рассмотрим пластинку конечной толщины и луч $PF$, отраженный кристаллической плоскостью в точке $P$ под углом $\theta_{k}$.
Этот луч проходит через точку $P'$ на пластинке и образует угол $\theta_{k}'$ с нормалью к кристаллической плоскости $CP'$, проходящей через $P'$ (рис. 2).

Тогда $$CP \sin \theta_{k}=C' \sin \theta_{k}'=CF \tag{3}$$ Из геометрических соображений следует, что $$\frac{d}{d'}=\frac{CP}{CP'}$$ и соотношение $(3)$ принимает вид $$d \sin \theta_{k}=d'\sin \theta_{k}'$$ так что направление $PF$ одинаково для лучей, отраженных от любой точки $P$ и удовлетворяет уравнению $(1)$. Таким образом, толщина пластинки не влияет на выводы, сделанные в первой части задачи.

C1  ^?? Покажите, что лучи, соответствующие порядку дифракции $K$, практически собираются в фокусе, и найдите его положение.

Где располагаются различные фокусы $F_{k}$, получающиеся при $\lambda=1~\overset{\circ}{\mathrm{A}}$? Расстояние между кристаллическими плоскостями, параллельными $YOZ$, равно $d=2.8~\overset{\circ}{\mathrm{A}}$.

Из (рис. 1) видно, что если размеры пластинки малы, все отраженные лучи, соответствующие одному порядку дифракции, собираются в фокусе вблизи точки $F$, координаты которой равны \begin{align*} & x=C F \cos \theta_{k}=R \sin \theta_{k} \cos \theta_{k} \\ & z=C F \sin \theta_{k}=R \sin ^{2} \theta_{k}. \tag{4} \end{align*}

Для различных значений $K$ уравнение $(1)$ позволяет найти возможные значения $\sin \theta_{k}$, а из уравнений $(4)$ можно определить координаты соответствующих фокусов $F_{k}$. Находим:

 

$k$	$=$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\sin \theta_{k}$	$=$	0.1786	0.3572	0.5358	0.7144
$\theta_{k}$	$=$	$10^{\circ} 17'$	$20^{\circ} 56'$	$32^{\circ} 24'$	$45^{\circ} 33'$
$\cos \theta_{k}$	$=$	0.9839	0.9340	0.8443	0.7003
$x_{k}(в~м)$	$=$	0.175	0.333	0.452	0.500
$z_{k}(в~м)$	$=$	0.032	0.127	0.287	0.510

При изменении $\theta_{k}$ геометрическое место точек $F_{k}$ представляет собой окружность, уравнение которой имеет вид
$$x^{2}+\left(z-\frac{R}{2}\right)^{2}=\frac{R^{2}}{4}$$Ее центр имеет координаты $x_{0}=0$ и $z_{0}=R/2$. В этом случае он расположен на середине $CO$ (рис. 1). Окружность проходит через $C$ и касается плоскости в точке $O$.