A1  ^?? Найдите наблюдаемое смещение как функцию расстояния между полосами.

Разность времен прохождения света в двух трубках равна $$\Delta t=\frac{l}{v_{\varphi_{1}}}-\frac{l}{v_{\varphi_{2}}}. \tag{1}$$ Если пренебречь эффектом Доплера, имеем $$v_{\varphi}=\frac{c}{n} \pm u\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) \tag{2}$$ следовательно, $$\Delta t=\frac{l}{\frac{c}{n}-u\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)}-\frac{l}{\frac{c}{n}+u\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)} \approx \frac{2 l u}{c^{2}}\left(n^{2}-1\right). \tag{3}$$ Смещение, выраженное через расстояние между полосами, равно $$\Delta p'=\frac{2 \Delta t}{T}=\frac{2 c \Delta t}{\lambda_{0}}=\frac{4 l u}{c \lambda_{0}}\left(n^{2}-1\right)$$ $$\Delta p'=\frac{4 \cdot 6 \cdot 5.5}{3 \cdot 10^{8} \cdot 546 \cdot 10^{-9}}(1.7809-1)=0.64.$$

B1  ^?? В этом опыте вода, через которую пропускают свет, движется относительно источника. Следовательно, имеет место эффект Доплера. Рассчитайте новые положения полос, принимая во внимание этот эффект. Можно ли пренебречь этим эффектом, если окажется, что положение полосы может быть определено лишь с точностью до $0.01$ расстояния между полосами? Показатель преломления воды для $\lambda_{0}=589~нм$ равен $1.3330$.

Излучение с длиной волны $\lambda_{0}$, испускаемое источником в системе отсчета, связанной с водой, имеет длину волны $\lambda_{0}'=\lambda_{0}+\Delta \lambda$. Показатель преломления должен быть найден для $\lambda_{0}'$. Тогда $$n'=n+\frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}} \Delta \lambda_{0}$$ и $$\frac{\Delta \lambda_{0}}{\lambda_{0}}= \pm \frac{nu}{c}$$ Знак + относится к трубке, в которой вода движется в направлении от источника. Отсюда $$n'=n \pm \lambda_{0} \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}} \frac{u n}{c}=n\left(1 \pm \lambda_{0} \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}} \frac{u}{c}\right).$$ Фазовая скорость, определяемая формулой $(2)$, равна $$v_{\varphi}=\frac{c}{n'} \pm u\left(1-\frac{1}{n'^2}\right)=\frac{c}{n}\left(1 \mp \lambda_{0} \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}} \frac{u}{c}\right) \pm u\left(1-\frac{1}{n'^2}\right),$$ или $$v_{\varphi} \approx \frac{c}{n} \pm u\left(1-\frac{1}{n^{2}}-\frac{\lambda_{0}}{n} \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}}\right)$$ если заменить $n'^2$ на $n^{2}$ и, следовательно, пренебречь членами при $u/c$. Уравнение $(3)$ принимает вид $$\Delta t \approx \frac{2 l u}{c^{2}}\left(n^{2}-1-n \lambda_{0} \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}}\right)$$ и смещение полос равно $$\Delta p''=\frac{2 l u}{c \lambda_{0}}\left(n^{2}-1-n \lambda_{0} \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}}\right)=\Delta p'\left(1-\frac{n \lambda_{0}}{n^{2}-1} \cdot \frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}}\right).$$ 

Численный пример

 $$\frac{\mathrm d n}{\mathrm d \lambda_{0}}=-\frac{0.0015}{43 \cdot 10^{-9}}, \quad n^{2}-1=0.78$$ $$\Delta p''=0.64\left(1+\frac{1.3345 \cdot 456 \cdot 10^{-9} \cdot 0.0015}{0.78 \cdot 43 \cdot 10^{-9}}\right)=0.64(1+0.034)=0.66 \quad полосы.$$ Таким образом, эффект Доплера необходимо учитывать, как это и сделал Зееман в своем опыте.